La leyenda del ajedrez

Cuenta la leyenda que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey llamado Sheram. En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo, y eso le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle.

Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez.

Después de explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido.

Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara. Éste rechazó esa recompensa, pero el rey insistió y Sissa pidió lo siguiente:

Deseo que ponga un grano de trigo en el primer cuadro del tablero, dos, en el segundo, cuatro en el tercero, y así sucesivamente, doblando el número de granos en cada cuadro, y que me entregue la cantidad de granos de trigo resultante.

El rey se sorprendió bastante con la petición creyendo que era una recompensa demasiado pequeña para tan importante regalo y aceptó. Mandó a los calculistas más expertos de la corte que calcularan la cantidad exacta de granos de trigo que había pedido Sissa, es decir:

1 + 2 + 4 + 8 + … + 2⁶² + 2⁶³

Cuál fue su sorpresa cuando éstos le comunicaron que no podía entregar esa cantidad de trigo ya que ascendía a:

18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo

El rey se quedó de piedra. Pero en ese momento Sissa renunció al presente. Tenía suficiente con haber conseguido que el rey volviera a estar feliz y además les había dado una lección matemática que no se esperaban.

Esta leyenda es bastante conocida. Seguro que much@s de vosotr@s sabíais de su existencia. Pero hay una variante que serviría para que la lección matemática se la llevara el listillo de Sissa:

Supongamos que el rey al pensar que la petición de Sissa era irrisoria le hubiese ofrecido granos de trigo en esa progresión pero hasta el infinito, es decir:

1 + 2 + 4 + 8 + … + 2⁶² + 2⁶³ + 2⁶⁴ + …

Veamos qué hubiera pasado:

Llamemos S a la cantidad cantidad de granos de trigo que recibiría Sissa, es decir:

S = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2⁶² + 2⁶³ + 2⁶⁴ + …

Ahora operemos de la siguiente forma:

S = 1 + (2 + 4 + 8 + … + 2⁶² + 2⁶³ + 2⁶⁴ + …) = 1 + 2·(1 + 2 + 4 + 8 + … + 2⁶² + 2⁶³ + 2⁶⁴ + …)

Es decir, sacamos factor común 2 de la parte de la suma que teníamos entre paréntesis. Pero como podemos observar lo que nos ha quedado entre paréntesis es exactamente igual a S. Esto es:

S = 1 + 2·S —> (Despejando) —> S = -1

Por tanto la generosidad infinita del rey se ve recompensada: no solamente no debe pagar nada a Sissa sino que éste le debe entregar un grano de trigo.

El fallo de este razonamiento es muy sencillo (para alguien que esté algo familiarizado con estos temas claro  ). A ver quién lo encuentra primero.

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