El Juego de las Clavijas
Salta sobre las clavijas - deja solo una.
(Este juego necesita Macromedia Flash Player)
viernes, 30 de septiembre de 2011
Curso de Estadística Descriptiva
Para que les sirva como complemento al estudio de la Estadística descriptiva, les sugiero que echen un vistazo a esta presentación que he encontrado en la Internet; les va a a ser útil.
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Geometría del Pliegue
Podemos introducir la Geometría en 1º (rectas paralelas y perpendiculares que pasen por un punto, puntos medios, puntos simétricos, ...) de una forma muy manipulativa , doblando un papel*.
Si vas a trabajar este recurso manipulativo en clase, te recomiendo que no muestres (al principio) el vídeo que dejo mas adelante y que entregues una hoja impresa con las siguientes actividades:
ACTIVIDAD 1. Recta que pasa por un punto. Coge una hoja, marca un punto en la hoja y dobla el papel por dicho punto. Al abrir el papel obtienes la recta que pasa por dicho punto.
ACTIVIDAD 2. Recta que pasa por dos puntos. Marca dos puntos en la hoja (A y B) y dobla con mucho cuidado obteniendo al desplegar el papel la recta que pasa por esos dos puntos, con un lápiz marca la recta y la llamas r.
ACTIVIDAD 3. Recta perpendicular a otra recta. Ahora vas a trazar una recta, s, que sea perpendicular a la recta r que hemos obtenido en la ACTIVIDAD 2. Dobla el papel por la recta r y haz una doblez de forma que hagas coincidir dicha recta sobre si misma, despliega el papel, marca la doblez con el lápiz y al desplegar el papel tendrás la recta s perpendicular a la recta r.
ACTIVIDAD 4. Recta perpendicular a una recta pero que pase por un punto determinado. Sobre el papel tenemos las rectas r y s, ahora marcas un punto cualquiera del papel y lo llamas A con la condición de que dicho punto A no pertenezca ni a la recta r ni a la recta s. Ahora dobla el papel por la recta r y haz una doblez de forma que hagas coincidir dicha recta sobre sí misma pero que pase por el punto A. Al desplegar el papel obtendrás esta nueva recta a la que puedes llamar t y que puedes ver que es perpendicular a r y es paralela a s.
ACTIVIDAD 5. Recta paralela a una dada. Es la perpendicular a una perpendicular.
ACTIVIDAD 6. Mediatriz y punto medio de un segmento. Se hacen coincidir en el doblez los extremos del segmento, con lo que éste se dobla sobre sí mismo obteniéndose una perpendicular que es la mediatriz (recta perpendicular a un segmento por su punto medio).
ACTIVIDAD 7. Punto simétrico y recta simétrica respecto de otra recta. Se dobla el papel por la recta dada y el punto o la recta descansa sobre su simétrica, querdaría marcarla.
ACTIVIDAD 8. Bisectriz de un ángulo. Se dobla el papel de forma que coincidan las líneas que forman el ángulo.
ACTIVIDAD 1. Recta que pasa por un punto. Coge una hoja, marca un punto en la hoja y dobla el papel por dicho punto. Al abrir el papel obtienes la recta que pasa por dicho punto.
ACTIVIDAD 2. Recta que pasa por dos puntos. Marca dos puntos en la hoja (A y B) y dobla con mucho cuidado obteniendo al desplegar el papel la recta que pasa por esos dos puntos, con un lápiz marca la recta y la llamas r.
ACTIVIDAD 3. Recta perpendicular a otra recta. Ahora vas a trazar una recta, s, que sea perpendicular a la recta r que hemos obtenido en la ACTIVIDAD 2. Dobla el papel por la recta r y haz una doblez de forma que hagas coincidir dicha recta sobre si misma, despliega el papel, marca la doblez con el lápiz y al desplegar el papel tendrás la recta s perpendicular a la recta r.
ACTIVIDAD 4. Recta perpendicular a una recta pero que pase por un punto determinado. Sobre el papel tenemos las rectas r y s, ahora marcas un punto cualquiera del papel y lo llamas A con la condición de que dicho punto A no pertenezca ni a la recta r ni a la recta s. Ahora dobla el papel por la recta r y haz una doblez de forma que hagas coincidir dicha recta sobre sí misma pero que pase por el punto A. Al desplegar el papel obtendrás esta nueva recta a la que puedes llamar t y que puedes ver que es perpendicular a r y es paralela a s.
ACTIVIDAD 5. Recta paralela a una dada. Es la perpendicular a una perpendicular.
ACTIVIDAD 6. Mediatriz y punto medio de un segmento. Se hacen coincidir en el doblez los extremos del segmento, con lo que éste se dobla sobre sí mismo obteniéndose una perpendicular que es la mediatriz (recta perpendicular a un segmento por su punto medio).
ACTIVIDAD 7. Punto simétrico y recta simétrica respecto de otra recta. Se dobla el papel por la recta dada y el punto o la recta descansa sobre su simétrica, querdaría marcarla.
ACTIVIDAD 8. Bisectriz de un ángulo. Se dobla el papel de forma que coincidan las líneas que forman el ángulo.
Os dejo ahora el vídeo en el que hay también otras actividades:
[youtube]http://www.youtube.com/watch?v=J8xbm_Yk0z4[/youtube]
* La manipulación de un papel es un buen ejercicio de razonamiento espacial y se trata de una forma de aprender en la que el logro del objetivo lo obtiene el estudiante por si mismo, siendo nuestra función la de guía, es decir, aprendizaje autónomo. No menos importante es que podemos conseguir que el estudiante incorpore lenguaje matemático a sus conocimientos de manera natural realizando cierta abstracción de determinados elementos como paralelas, perpendiculares, mediatriz, etc
Referencia: Geometría del Pliegue. Miguel de Guzmán.
Propuestas a partir del desarrollo del cubo
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domingo, 25 de septiembre de 2011
Sucesiones y series
¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
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Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita
si no es una sucesión finita
Ejemplos
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
En orden
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
- 10º término,
- 100º término, o
- n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
| n | Término | Prueba |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 2n = 2×1 = 2 |
| 2 | 5 | 2n = 2×2 = 4 |
| 3 | 7 | 2n = 2×3 = 6 |
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
| n | Término | Regla |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 2n+1 = 2×1 + 1 = 3 |
| 2 | 5 | 2n+1 = 2×2 + 1 = 5 |
| 3 | 7 | 2n+1 = 2×3 + 1 = 7 |
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201
Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
Posición del término | |
 |
Es normal usar xn para los términos:
|
| Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5 |
Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:
xn = 2n+1
Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21
¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:Tipos de sucesiones
Sucesiones aritméticas
El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.
Ejemplos
| 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... |
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2
La regla es xn = 3n-2
| 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ... |
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2
La regla es xn = 5n-2
Sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.
Ejemplos:
| 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... |
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n
La regla es xn = 2n
| 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ... |
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n
La regla es xn = 3n
| 4, 2, 1, 0.5, 0.25, ... |
Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n
La regla es xn = 4 × 2-n
Sucesiones especiales
Números triangulares
| 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... |
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Pero es más fácil usar la regla
xn = n(n+1)/2
Ejemplo:
- El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
- y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cuadrados
| 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ... |
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.
La regla es xn = n2
Números cúbicos
| 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ... |
El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
La regla es xn = n3
Números de Fibonacci
| 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... |
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
La regla es xn = xn-1 + xn-2
Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
Series
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es lasuma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":
 | Esto significa "suma de 1 a 4" = 10 |
 | Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión2n+1" Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24 |
Sucesiones - Encontrar la regla
Para encontrar un número que falta en una sucesión, primero tienes que conocer la regla
Definición rápida de sucesión
Lee sobre sucesiones y series para conocer el tema bien, pero por ahora:
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) que están en algún orden.
Cada número en la sucesión es un término (a veces "elemento" o "miembro"):
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Encontrar números que faltan
Para calcular un número que falta primero necesitas saber la regla que sigue la sucesión.
A veces basta con mirar los números y ver el patrón.
Ejemplo: 1, 4, 9, 16, ?
Respuesta: son cuadrados (12=1, 22=4, 32=9, 42=16, ...)
Regla: xn = n2
Sucesión: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
¿Has visto cómo escribimos la regla con "x" y "n"?
xn significa "el término en la posición n", así que el tercer término sería x3
Y también hemos usado "n" en la fórmula, así que para el tercer término hacemos 32 = 9. Esto se puede escribir
x3 = 32 = 9
Cuando sepamos la regla, la podemos usar para calcular cualquier término, por ejemplo término 25º se calcula "poniendo dentro" 25 donde haya una n.
x25 = 252 = 625
Qué tal si vemos otro ejemplo:
Ejemplo: 3, 5, 8, 13, 21, ?
Son la suma de los dos que están delante, o sea 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 y sigue así (en realidad es parte de la Sucesión de Fibonacci):
Regla: xn = xn-1 + xn-2
Sucesión: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
¿Qué significa xn-1 aquí? Bueno, sólo significa "el término anterior" porque la posición (n-1) es uno menos que (n).
Entonces, si n es 6, será xn = x6 (el 6º término) y xn-1 = x6-1 = x5 (el 5º término)
Vamos a aplicar la regla al 6º término:
x6 = x6-1 + x6-2
x6 = x5 + x4
Ya sabemos que el 4º es 13, y que el 5º es 21, así que la respuesta es:
x6 = 21 + 13 = 34
Muy simple... sólo pon números en lugar de "n"
Muchas reglas
Uno de los problemas que hay en "encontrar el siguiente término" de una sucesión es que las matemáticas son tan potentes que siempre hay más de una regla que vale.
¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 1, 2, 4, 7, ?
Hay (por lo menos) tres soluciones:
Solución 1: suma 1, después suma 2, 3, 4, ...
Entonces, 1+1=2, 2+2=4, 4+3=7, 7+4=11, etc...
Regla: xn = n(n-1)/2 + 1
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...
(La regla parece complicada, pero funciona)
Solución 2: suma los dos números anteriores más 1:
Regla: xn = xn-1 + xn-2 + 1
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, ...
Solución 3: suma los tres números anteriores
Regla: xn = xn-1 + xn-2 + xn-3
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, ...
Así que tenemos tres soluciones razonables, y cada una da una sucesión diferente.
¿Cuál es la correcta? Todas son correctas.
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Y habrá otras soluciones.
Hey, puede ser una lista de números ganadores... así que el siguiente será... ¡cualquiera!
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La regla más simple
Cuando dudes, elige la regla más simple que funcione, pero menciona también que hay otras soluciones.
Calcular diferencias
A veces ayuda encontrar diferencias entre los términos... muchas veces esto nos muestra una pauta escondida.
Aquí tienes un ejemplo sencillo:
Las diferencias siempre son 2, así que podemos adivinar que "2n" es parte de la respuesta.
Probamos 2n:
| n: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Términos (xn): | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 |
| 2n: | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| Error: | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
La última fila nos dice que siempre nos faltan 5, así que sumamos 5 y acertamos:
Regla: xn = 2n + 5
OK, podías haber calculado "2n+5" jugando un poco con los números, pero queremos un sistemaque funcione, para cuando las sucesiones sean complicadas.
Segundas diferencias
En la sucesión {1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...} tenemos que calcular las diferencias...
... y después calcular las diferencias de esas diferencias (se llaman segundas diferencias), así:
En este caso las segundas diferencias son 1.
Con las segundas diferencias multiplicamos por "n2 / 2".
En nuestro caso la diferencia es 1, así que probamos n2 / 2:
| n: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Términos (xn): | 1 | 2 | 4 | 7 | 11 |
| n2: | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
| n2 / 2: | 0.5 | 2 | 4.5 | 8 | 12.5 |
| Error: | 0.5 | 0 | -0.5 | -1 | -1.5 |
Estamos cerca, pero nos estamos desviando en 0.5 cada vez más, así que probamos ahora: n2 / 2 - n/2
| n2 / 2 - n/2: | 0 | 1 | 3 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Error: | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Ahora nos sale 1 menos, así que sumamos 1:
| n2 / 2 - n/2 + 1: | 1 | 2 | 4 | 7 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|
| Error: | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
La fórmula n2 / 2 - n/2 + 1 se puede simplificar a n(n-1)/2 + 1
Así que, con "prueba y error" hemos conseguido descubrir la regla.
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, ...
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