Lugares Geométricos

LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO
Traducido de: L. BRUN et L.TREVILLET
“EXERCISES DE GEOMETRIE”
Ediciones de La Casa del Estudiante – Junio de 1980
LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO
I) Definición de un Lugar GeométricoSupongamos un punto móvil que se desplaza en un plano a una distancia constante de un punto fijo O del mismo plano. Sabemos que ese punto recorrerá una circunferencia de centro O y radio la distancia constante ( R ). El conjunto de los puntos de la circunferencia y solamente ellos constituye el Lugar Geométrico de P. Un Lugar Geométrico es pues una figura cuyos puntos gozan de una cierta propiedad que no poseen los puntos que no pertenecen a la figura. Se puede concebir un aparato provisto de un lápiz que represente el punto móvil, traduce en forma continua el Lugar Geométrico de este punto. Un compás es un dispositivo simple de este tipo. También los diagramas obtenidos en los aparatos registradores son Lugares Geométricos.

II) Cinco Lugares Geométricos fundamentales:
1º) El lugar de los puntos situados a una distancia R de un punto fijo O es la circunferencia de centro O y radio R.

2º) El lugar de los puntos situados a una distancia dada d de una recta fija r es el conjunto de dos paralelas a r trazadas a la distancia d de esta recta.

3º) El lugar de los puntos equidistantes de dos puntos fijos A y B es la mediatriz del segmento AB.

4º) El lugar de los puntos equidistantes de dos semirrectas Ox y Oy es la bisectriz del ángulo xOy.

5º) El lugar de los puntos desde los cuales se ve un segmento de recta AB bajo un ángulo dado está formado por dos arcos de circunferencia que tienen AB por cuerda y se llaman arcos capaces del ángulo dado sobre el segmento AB. Estos dos arcos son simétricos con respecto a AB. Cada centro está para la mediatriz de AB y sobre la perpendicular en B a la recta que forma con AB un ángulo igual al dado. Si el ángulo es menor que un ángulo recto, cada arco capaz es mayor que una semicircunferencia. Si es recto, cada arco es una semicircunferencia. Si es mayor, cada arco es menor que una semicircunferencia.

III) Estudio de un Lugar Geométrico.
Búsqueda del lugar y demostración.
Es útil tratar de tener una idea de la naturaleza del lugar. Para ello, podemos construir varias posiciones. Puede suceder:
1º) Que las construcciones efectuadas den puntos alineados: tenemos la intuición de que el lugar es una recta y trataremos de demostrarlo.
2º) Que los puntos no estén alineados. Como por el momento, tratándose de lugares planos la única curva que hemos estudiado es la circunferencia, podemos tener la intuición de que se trata de una circunferencia ( o de un arco) y trataremos de demostrarlo.
Para establecer el lugar que acabamos de intuir, trataremos de ubicar el problema en uno de los logares del parágrafo II.

1er. ejemplo:
Sean A y B dos puntos fijos de una recta xy. Se traza una circunferencia variable C tangente en B a xy y desde A se traza la segunda tangente AM a la circunferencia. Lugar Geométrico de M.
Búsqueda del Lugar: Construimos tres posiciones particulares M1, M2 y M3 del punto M (fig. 1). Observamos que estos puntos no están alineados y parecen pertenecer a una circunferencia de centro A. Para demostrarlo bastará con probar que la distancia AM es constante. Este estudio preliminar debe ser hecho “en borrador” solo para guiarse. Para hacer la demostración haremos una nueva figura con la única posición de M (Fig. 2).
Demostración: Las longitudes AM y AB son iguales por ser tangentes desde un mismo punto exterior A a la circunferencia de centro O. Como A y B son fijos, la longitud AM es constante y el punto M se desplazará sobre la circunferencia de centro A y radio AB.
Recíproco: Habiendo ya demostrado que el punto M se halla sobre una figura fija, falta probar que un punto tomado sobre esta figura responde a las condiciones impuestas a M por el enunciado.
Haremos una nueva figura (fig.3) que tenga los elementos fijos de la hipótesis del problema y el lugar hallado en la primera parte.
Sea M un punto de la circunferencia de centro A y radio AB. Bastará demostrar que se puede construir una circunferencia tangente en M a AM y tangente en B a AB. Tracemos la perpendicular en M a AM y en B a AB. Estas rectas se cortan en O (siempre que M no pertenezca a la recta AB). Son tangentes a la circunferencia de centro A siendo perpendiculares respectivamente a los radios AM y AB en sus extremos. Estas dos tangentes OB y OM son iguales. Por tanto la circunferencia de centro O y radio OB pasará por M. Será tangente en B a AB y en M a AM, ya que estas rectas son perpendiculares a los radios OB y OM en sus extremos. M es entonces el punto de contacto de una tangente trazada desde A a una circunferencia tangente en B a AB.
La conclusión de este estudio es que el lugar de M es la circunferencia de centro A y de radio AB, exceptuando los puntos B y diametralmente opuestos para los que no puede trazarse la circunferencia del enunciado. El recíproco muestra si toda la figura hallada constituye el lugar buscado, o si el lugar está solo formado por parte de la figura (como en el caso anterior en que debimos excluir dos puntos). En este último caso, será determinar los límites del lugar.
Se puede considerar un problema de lugar geométrico como el estudio de una figura que se deforma manteniendo ciertos elementos fijos. La figura queda completamente determinada cuando se elige la posición de un cierto punto o de una cierta recta que llamaremos variable principal. Este elemento se desplaza entre dos posiciones límites fijadas en el enunciado. (Estas posiciones pueden estar confundidas, por ejemplo si un punto, elemento variable principal, describe una circunferencia).
A cada una de estas posiciones del elemento variable principal corresponde una posición particular del punto cuyo lugar se busca. Estas posiciones particulares son los límites del lugar. La búsqueda completa de los límites de un lugar puede sustituir al recíproco.
Veamos un ejemplo:

2º ejemplo): Sea P un punto fijo exterior a una circunferencia de centro O. Se traza una secante PAB a la circunferencia. Lugar Geométrico del punto medio de la cuerda AB.
Búsqueda del lugar: (en borrador). Construimos tres posiciones de la secante PAB. Los puntos medios de las cuerdas son respectivamente M1, M2 y M3 que no están alineados. Parecen pertenecer a una circunferencia de diámetro PO (O es un punto del lugar ya que PO corta a la circunferencia, según un diámetro de punto medio O).
Demostración: Siendo M el punto medio de la cuerda AB, la recta OM que une ese punto al centro es perpendicular a AB. Por tanto el ángulo OMP es recto; es inscriptible en una semicircunferencia de diámetro OP, M pertenece entonces a la circunferencia de centro C, medio de OP.
Recíproco: Sea M un punto de la circunferencia C de diámetro OP. Trazamos PM que corta a la circunferencia en A y B. El ángulo OMP está inscrito en una semicircunferencia; es recto. por tanto OM es perpendicular a la cuerda y pasa por el punto medio de AB, M es el punto medio de AB.

Para que este razonamiento sea válido se necesita que PM encuentre a la circunferencia de centro O y por tanto que M esté sobre la parte de la circunferencia interior al círculo de centro O, es decir sobre el arco TOT’.
Limitación del lugar: Podríamos haber hallado los límites del lugar por el razonamiento siguiente, que puede sustituir al recíproco. En este problema, el elemento variable principal es la recta PAB. Gira alrededor de P y debe encontrar a la circunferencia de centro O. Sus posiciones límites son las tangentes PT y PT’ a la circunferencia de centro O. Para la posición PT los puntos A y B están confundidos en T, por tanto el punto medio M de AB es también T. para la posición PT’, M está en T’. El lugar es el arco TOT’ de la circunferencia de diámetro OP, interior al círculo de centro O.

Utilización de las posiciones particulares:
La posición notable de la secante PAB pasando por O nos ha mostrado que O es un punto del lugar. Se puede a veces, considerando posiciones particulares del elemento variable, deducir posiciones (sin construcciones nuevas) de puntos del lugar. Por otra parte, estos puntos son en general los límites del lugar.
Algunas veces el punto móvil puede halarse sobre una línea fija ya trazada. Es suficiente en este caso construir la figura para tener una idea del lugar. La demostración consiste en justificar esta posición notable. Veamos otro ejemplo:

3er. ejemplo: Sea un punto M variable exterior a una circunferencia de centro O. Se trazan las tangentes MA y MB. Lugar del incentro del triángulo MAB.

Búsqueda del lugar (en borrador): Las bisectrices de los ángulos MAB y MBA parecen cortarse sobre la circunferencia de centro O.

Demostración: La bisectriz del ángulo A pasa por el punto medio del arco AB. Los dos ángulos inscritos A1 y A2 iguales deben interceptar arcos iguales. La bisectriz del ángulo B también pasa por el punto medio del arco AB. El incentro pertenece a la circunferencia de centro O.

Recíproco: Sea I un punto de la circunferencia de centro O. Tracemos una cuerda AB perpendicular a OI y las tangentes en A y B se cortan en M. El radio OI perpendicular a la cuerda AB pasa por el punto medio del arco AB y los arcos AI e IB son iguales. El ángulo A1 inscrito es igual a la mitad del ángulo BOI y el A2 semiinscrito igual a la mitad del IOA. Entonces los ángulos A1 y A2 son iguales, AI es la bisectriz del ángulo MAB.
Análogamente, BI es bisectriz del ángulo MBA, I es entonces el incentro del triángulo.
El Lugar de I es la circunferencia de centro O entera..

También el punto móvil puede estar sobre una línea fija no trazada en la figura y no incluida en los cinco lugares del parágrafo II. En este caso nos encontramos en general en presencia de una recta. Se prueba que es fija mostrando que pasa por un punto fijo y forma un ángulo constante con una dirección fija.

4to. Ejemplo: Sea M un punto variable del lado AB de un triángulo ABC. Se toma sobre la prolongación CX de AC una longitud CN = BM. Lugar del vértice P del paralelogramo BMNP.
Búsqueda del lugar: Sea P el cuarto vértice del paralelogramo BMNP. Si M está en B, N está en C y el paralelogramo se reduce al segmento BC, por tanto P está en C. Si M está en A, el paralelogramo es BAN’P’. Los tres puntos del lugar C, P y P’ parecen alineados.

Demostración: Unimos C con P. Los lados opuestos BM y PN del paralelogramo son iguales, de donde PN = CN. El triángulo NCP es isósceles y el ángulo C1 es la mitad del ángulo externo N1. Pero NP y AB son paralelas. Los ángulos correspondientes N1 y A son iguales, por tanto el ángulo C1 es igual a la mitad del ángulo A, es un ángulo constante y la dirección CP es fija.

Recíproco: Sea P un punto de la recta CY que forma en C con CX un ángulo XCY igual al ángulo A/2. La paralela trazada por P a BA corta a CX en N y la paralela a PB trazada por N corta a AB en M.
En el triángulo NCP el ángulo externo N1 = C1 + P1 = N1 = A por correspondientes y C1 = A/2, de donde el ángulo P1 = A/2 = C . El triángulo NCP es isósceles y NP = CN . Los lados opuestos BM y PN del paralelogramo BMNP son iguales CN = BM y P es un punto del lugar.

Limitación: Los límites son C y P’

Construcción del lugar: Se traza la bisectriz del ángulo A y por C la paralela. por B se traza la paralela a AC para determinar P’

En resumen: Frente al problema de “Hallar el lugar geométrico de un punto P sujeto a ciertas condiciones“, lo resolvemos de la siguiente manera:
Buscamos una figura F sobre la cual se hallan todos los puntos P, y, luego, demostramos que todo punto de F (o parte de ella) cumple las condiciones exigidas.

El Lugar de una recta (o varias) si el punto móvil:
a) está a una distancia constante de una recta fija, el Lugar son las dos paralelas a la recta fija.
b) equidista de dos puntos fijos A y B, el Lugar es la mediatriz del segmento AB.
c) equidista de dos rectas fijas, el Lugar es la bisectriz de los ángulos formados por las rectas.
d) se halla en una recta que pasa por un punto fijo y forma un ángulo constante con una dirección fija.
e) se halla en una recta notable de la figura.

El Lugar en una circunferencia ( o parte) si el punto móvil:
a) está a una distancia constante R de un punto fijo O, el Lugar es una circunferencia de centro O y radio R.
b) es vértice de un ángulo constante cuyos lados pasan cada uno por un punto fijo, el Lugar es un arco capaz.
c) pertenece a una circunferencia fija de la figura.

A menudo, en los problemas del Lugar Geométrico hay que demostrar que un segmento o un ángulo son constantes.
A) se puede demostrar que son iguales a un segmento o un ángulo de la figura.
B) se los puede calcular en función de otros elementos de la figura y probar que el valor obtenido es constante,.

EJERCICIOS:I) El punto móvil se encuentra a una distancia constante de un punto fijo

1) Lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio R que pasan por un punto fijo A.

2) Lugar Geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a dos circunferencias concéntricas dadas.

3) Lugar Geométrico de los puntos desde los cuales se puede trazar dos tangentes a una circunferencia que formen entre ellas un ángulo dado.

4) Sea un ángulo recto XOY fijo, y un segmento AB que se desplaza de modo que A pertenece siempre a OX y B a OY, siendo el segmento AB de longitud constante. Hallar el Lugar Geométrico del punto medio M de AB. Se trazan las perpendiculares en A a OX y en B a OY. Lugar Geométrico de la intersección de estas dos perpendiculares.

II) El punto móvil se halla a una distancia constante de una recta fija.
5) Una circunferencia de radio constante rueda sobre una recta XY. Lugar Geométrico de su centro.

6) Sea un paralelogramo ABCD cuyo lado AB es fijo y su altura CH constante. Lugar geométrico del punto de corte de las diagonales.

III) El punto móvil equidista de dos puntos fijos

7) Lugar geométrico de los vértices B y D de un rombo ABCD cuyos vértices A y C son fijos.
8) Lugar geométrico de las circunferencias tangentes a dos circunferencias iguales.

9) Sean tres puntos A, B y C alineados. Se consideran dos circunferencias iguales variables, una que pasa por A y B y la otra que pasa por B y C. Lugar Geométrico del segundo punto de intersección de las circunferencias.

IV) El punto móvil equidista de dos rectas fijas

10) Lugar geométrico de los centros de la circunferencia tangente a dos rectas paralelas.

11) Sea un cuadrado ABCD. Se toma sobre la prolongación del lado BC un punto M. La perpendicular en A a AM corta la prolongación de CD en P. Se construye el paralelogramo AMNP. Lugar Geométrico del vértice N.

12) Sea una circunferencia de centro O y dos diámetros X’OX e Y’OY perpendiculares. Un ángulo recto AOB gira alrededor de O. Sus lados cortan la circunferencia respectivamente en A y B. Por A se traza una paralela a X’OX y por una a Y’OY. Lugar Geométrico del punto P de intersección de estas dos rectas.

V) El punto móvil pertenece a un arco capaz.
13) En un triángulo ABC, el lado BC es fijo y el punto A es cualquiera. Lugar Geométrico de los pies de las alturas trazadas desde B y C.

14) En un triángulo ABC el lado BC es fijo y el punto A es cualquiera tal que el ángulo A es constante. Lugar Geométrico del centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (incentro).

15) En el triángulo ABC el lado BC es fijo, el ángulo A es constante. Lugar del ortocentro del triángulo ABC.

VI) El punto móvil pertenece a una línea fija de la figura

16) Sea A un punto fijo de una recta XY. Se consideran dos circunferencias variables cuyos centros pertenecen a XY y que son tangentes exteriormente en A. Se traza una tangente común exterior TT’. Lugar Geométrico del punto medio de TT’.

17) Sea M un punto variable de un segmento de recta AB. Se construye en una de los semiplanos determinados por la recta AB los cuadrados AMCD y BMEF. Lugar Geométrico de los centros I y J de estos cuadrados. Lugar Geométrico del punto medio de IJ.

VII) El punto móvil se encuentra sobre una recta que pasa por un punto fijo y forma un ángulo constante con una dirección fija.

18) Sea un ángulo XOY de 60º. Sobre OX y OY se toman dos segmentos iguales OA y OB. Se traza BA y se prolonga en una longitud AK, BA. Lugar Geométrico del punto K cuando A describe OX. Lugar Geométrico del circuncentro del triángulo OAK.

VIII) Los lugares siguientes se reducen a los casos precedentes
19) Lugar Geométrico del vértice A de u triángulo ABC cuyo lado BC es fijo y la altura AH es constante.

20) Lugar Geométrico de los puntos medios de las cuerdas de longitud d trazadas en una circunferencia de radio R.

21) Sea una recta fija XY y un punto fijo A exterior a la recta. Sea B un punto variable de XY. Se prolonga AB es una longitud BP=AB. Lugar Geométrico de P.

22) Sobre los lados AB y AC de un triángulo isósceles ABC se toma AM = AN. Lugar Geométrico del punto de intersección de las rectas CM y BN.

23) Sea un triángulo equilátero ABC cuyo vértice A es fijo. El lado BC pasa por un punto fijo M. Lugar Geométrico de los vértices B y C.

24) En un triángulo ABC el lado BC es fijo y el ángulo A es constante. Lugar Geométrico del centro de la circunferencia exinscrita en el ángulo B del triángulo. Idem para la circunferencia exinscrita en el ángulo C.

25) Sea AC una cuerda variable de una semicircunferencia de diámetro AB y sea AX la tangente a esta semicircunferencia. La bisectriz del ángulo CAX corta BC en un punto M. Lugar Geométrico de M.

26) En un triángulo ABC el lado BC es fijo, el vértice A cualquiera. Lugar geométrico de las proyecciones de los vértices B y C sobre la mediana trazada desde A.


Fuente: http://grosorio.blogspot.com/