Uno de los deberes de enseñar matemáticas a nivel superior es el adaptar al estudiante a un razonamiento más amplio y fuera de lo que vea directamente en el papel, que use la lógica y la intuición en dichos problemas y que tome decisiones de la acción a ejecutar previo a machacar números en el papel mediante la computación de la solución. Tengan este problema verbal de tres estrellas como prueba de lo dicho:

Problema (Traducción): "Le tomó a Marie 10 minutos para serruchar un tablón en 2 pedazos. Si ella trabaja con la misma velocidad, ¿cuánto le tomaría a ella serruchar otro tablón en 3 pedazos?"

Solución: El acercamiento que debemos tener al problema es más lógico y no computacional (por eso las tres estrellas). Se le está dando a Marie un nuevo tablón para que cotre en tres pedazos y que trabajará a la misma velocidad, cortando el tablón completamente a los 10 minutos, dejando dos pedazos. Repite el mismo procedimiento con uno de los pedazos (podemos decir que hace lo mismo que el tablón original, pero con uno más pequeño)

¿Qué nos queda al final? Marie cortó los tres pedazos en veinte minutos.

Creo que una representación grafica de la explicación, lo cual recomiendo que los estudiantes hagan, puede explicar mejor y sin enredos, la ejecución de Marie.

Reexplicando: a los cero minutos, Marie ya marcó por donde iba a cortar el tablón nuevo. Empieza a cortarlo hasta que lo logra a los diez minutos, donde marca uno de los pedazos, para repetir el procedimiento, a la misma velocidad, partiéndolo en otros dos en la marca de veinte minutos, resultando en tres tablones.

Si tradujeramos el problema a una extensión de cómputos matemáticos sería convertir el tiempo de Marie en una fórmula:

t = 10(n-1)

donde t es el tiempo total que se tardaría Marie cotrando n cantidad de tablones, sabiendo que se tarda 10 minutos por partir pedazo en dos.

Veamos otro problema, esta vez uno que tuve que resolver para la clase de Metodología Matemática:

Problema: Lo han enviado por agua al río con dos baldes sin marca alguna, cuya capacidad es de 7 galones y 3 galones, respectivamente. ¿Cómo puede llevar exactamente 5 galones de agua a casa?

Solución: Es posible con los baldes de siete y tres galones llevar exactamente cinco galones a su casa si sigue los siguientes pasos (en negrilla)

Llega al río con los baldes vacíos.
Llena el balde de 7 galones (B7G) por completo.
Vierta el agua del B7G en el balde de 3 galones (B3G) hasta llenarlo. De esta forma nos quedamos con 4 en el B7G.
Vacía los contenidos del B3G.
Repita el paso 3. Esta vez nos quedamos con un galón de agua en el B7G y con tres galones en B3G.
Repita el paso 4.
Repita el paso 3. Ahora el B7G está vacío y el B3G tiene un galón.
Repita el paso 2.
Repita el paso 3. Como el el B3G tenemos ya un galón, del B7G solamente necesitamos 2. Como el B7G está lleno por completo (7 galones), al vertir los dos galones al B3G, el B7G se queda con 5 galones.
Repita el paso 4.

Explicación gráfica de los pasos:

En el problema de arriba no se requirió computación más allá de suma y resta de primer grado para solucionarlo, . Ahora, tenemos que empezar a darle espacio a problemas verbales de este calibre en el aula de clases, que los ayude a progresar en el razonamiento y pensamiento crítico. El estudiante no se puede quedar cegado por toda la vida machacando una calculadora, sino crear personas que puedan determinar si lo apropiado sin precipitarse de inmediato.

Fuente:http://covacha-matematica.blogspot.com/2010/12/cuando-hacer-computos-no-es-suficiente.html

”Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, las cortezas de los árboles no son lisas y los relámpagos no se desplazan en línea recta”

Benoît Mandelbrot

Es la misma Naturaleza, y no el matemático, quine introduce las matemáticas en la filosofía natural

I. Kant

¿Qué altura puede alcanzar un árbol?

Euler en 1778 ya respondió a esta pregunta demostrando en su obra “De altitudinem columnarium...” que un árbol no puede crecer indefinidamente ya que, como la espiga de trigo acabaría doblándose sobre su propio peso si se desvía un poco de la perpendicular. Galileo ya había sugerido los 90 metros como altura máxima.

Greenhill demostró que el diámetro de un cuerpo homogéneo y alto debe aumentar con la potencia 3/2 de su altura.

Porque la naturaleza sabe de... máximos y mínimos; de ahorro, eficacia, economía y optimización. Por eso, el mundo vegetal tiene sus propias leyes físicas, que condicionan el crecimiento y las formas de sus elementos, que responden siempre a principios de optimización, economía de medios e interacción con el medio exterior.

	En un mundo perfectamente aislado, en un fluido homogéneo, un ser vivo adoptaría la forma de una esfera o de un círculo, el ideal platónico, la forma perfecta: – La máxima superficie con el mismo perímetro – El máximo volumen con la misma superficie ¡La forma más democrática e igualitaria! La esfera protege y minimiza los riesgos de agresiones externas. De hecho muchas semillas tienen forma esférica; las hojas de las plantas acuáticas tienden a la forma circular.
	Pero en un mundo hostil todo ser vivo necesita competir con otros individuos, luchar por el espacio, el alimento, o la luz... y defenderse de las agresiones externas. A las formas circulares les salen ángulos. Los ángulos disuaden de los ataques externos, concentran las fuerzas y la posibilidad de penetración y conquistan espacios. Las hojas se irán alejando de sus formas redondas para acabar convertidas en agujas en los casos extremos.
	Y si trata de rellenar espacios con el mínimo de huecos, las semillas nos darán una lección de empaquetamiento óptimo, curvándose en espirales y cerrando el círculo...
	Si por el contrario hay que maximizar la superficie para intercambiar gases con la atmósfera, o absorber el máximo de luz, la ramificación fractal vendrá en ayuda de la planta. Si hay que lanzar avanzadillas para conquistar nuevos terrenos o agarrarse a algo para subir más alto, las hélices se incrustarán en las claves genéticas de los vencedores para generaciones posteriores...

En el fabuloso universo vivo del Jardín Botánico nos vamos a encontrar un poema de formas que pueden interpretarse a la luz de las matemáticas y de las leyes físicas, pues todo fenómeno natural, y el crecimiento de las plantas lo es, por sencillo que parezca es en realidad compuesto; y todo efecto visible es la suma de incontables acciones subordinadas. Y las matemáticas manifiestan en este terreno su poder de combinar, relaciones y generalizar.

El crecimiento y las formas de los seres vivos participan de esta naturaleza compuesta y por tanto las matemáticas pueden aplicarse a ellos revelando la potencia de sus métodos.

Los códigos genéticos de las plantas también se basan en el principio de mínima acción, es decir, buscarán la mayor economía a la hora de generar instrucciones de crecimiento. La simetría, axial, central o de giro y la autosemejanza en las distintas etapas de desarrollo de la planta van a abundar en el entorno vegetal. La iteración de instrucciones simples van a hacer a muchos ejemplares de plantas parecerse a estructuras fractales


Helecho natural	Helecho de Barnsley, generado por ordenador

Más regularidades de lo que parece...

Las hojas de las plantas suelen crecer en torno a un “nodo” o punto de crecimiento nulo o mínimo. Si no fuera así su forma se aproximaría a un círculo. Observa estas tres figuras: La primera es una curva reniforme de ecuación en el interior de un una circunferencia. Las otras dos son las siluetas de hojas de violetas.
	Incluso cuando la hoja es compuesta, como esta de castaño, se aproxima bastante a una curva de carácter matemático, en este caso a

3. Las curvas botánicas

En apariencia las hojas de las plantas y los pétalos de las flores están hermanados con la poesía y muy alejados de las matemáticas. Sin embargo también podemos acercarnos a los misterios del crecimiento vegetal a través de curvas y de ecuaciones, y además no demasiado complejas.

Existe una familia de curvas, investigada en el siglo XVIII, que parece haber nacido para identificarse con algunas de las flores que podrás encontrar esta primavera en el Jardín botánico y en tus excursiones por el campo.

Se trata de la CONCOIDE DE ROSETÓN, también conocida como PÉTALO GEOMÉTRICO o ROSETÓN DE TROYA

Para interpretar el crecimiento de hojas y flores las coordenadas rectangulares o cartesianas no son las más apropiadas. Recurriremos a las coordenadas polares, en las que las dos variables son el ángulo girado respecto a la horizontal y la distancia al origen.

En estas coordenadas, todas las concoides de rosetón o de rosáceas, como dicen los franceses, tiene esta ecuación general

Cada pétalo base es simétrico respecto del eje OX y se obtiene haciendo variar el ángulo entre

Caso a = b

Ejemplo1: Pétalo simple: Caso a = b n = 5/2	Ecuación

	Si hacemos variar obtenemos la flor completa

Si lo queremos con un círculo central, algo por otra parte muy frecuente en la naturaleza, basta con tomar el valor absoluto del coseno

Ejemplo1: Pétalo simple: Caso a = b n= 5/2	Ecuación

	Si hacemos variar obtenemos la flor completa

Caso 0 < b < a

Ejemplo1: Pétalo simple: Caso 0 < b < a n= 7/2	Ecuación

	Si hacemos variar obtenemos la flor completa

Se puede observar que el factor b alarga el pétalo mientras que n hace aumentar el número de los mismos en cada circunferencia.

Si introducimos al valor absoluto del coseno, nos volvemos a acercar a la realidad

Ejemplo1: Pétalo simple: Caso 0 < b < a n = 7/2	Ecuación

	Si hacemos variar obtenemos la flor completa

Caso b > a

Ejemplo1: Pétalo simple: Caso b > a n= 7/2	Ecuación

	Si hacemos variar obtenemos la flor completa

Hasta ahora en los tres casos hemos "jugado" con n mayor que 1. ¿Qué ocurre si n es menor que la unidad?... Nos adentramos en el mundo de las rosas...

Caso b = a Ecuación	Caso b > a Ecuación Cacahuete

Caso b > a Ecuación	Caso 0 < b < a Ecuación

Bibliografía:

D´Arcy Thompson. Sobre el Crecimiento y la Forma. Blume Ediciones. Madrid 1980

Courant y Robbins. ¿Qué son las Matemáticas? Fondo de Cultura Económica. México.2002

Hildebrandt y Tromba. Matemáticas y Formas Óptimas. Prensa científica. Barcelona. 1990

Ghyka M. Estética de las proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Poseidon. Barcelona. 1983.

http://www.mathcurve.com

Texto y Fotografías: Antonio Pérez Sanz

JARDÍN BOTÁNICO ATLÁNTICO DE GIJÓN

Antonio Pérez Sanz

Fichas de actividades

Ya has visto que muchas flores se ajustan a la curva llamada CONCOIDE DE ROSETÓN, su ecuación en coordenadas polares es

>Donde r es la distancia al origen y q el ángulo medido en radianes desde la horizontal. En la tabla de abajo tienes unas cuantas estructuras para los distintos valores de n. Intenta encontrar en tu paseo distintas hojas o flores que se parezcan a cada una de las curvas de las celdas. Apunta en cada celda el nombre de la planta que encaja

Caso 0 < b < a

n = 1 : caracol de Pascal	n = 2 : trisectriz de Ceva	n = 3	n = 4	n = 5
n = 1/2 : nefroide de Freeth	n = 3/2	n = 5/2	n = 7/2	n = 9/2
n = 1/3	n = 2/3	n= 4/3	n = 5/3	n = 7/3
n = 1/4	n = 3/4	n = 5/4	n = 7/4	n =9/4
n = 1/5	n = 2/5	n = 3/5	n = 4/5	n = 6/5

Haz lo mismo con estas otras. Ten en cuenta que algunas no se dan en esta estación.

Caso b = a :

n = 1 : cardioide	n = 2 : doble huevo	n = 3	n = 4	n = 5
n = 1/2	n = 3/2	n = 5/2	n = 7/2	n = 9/2
n = 1/3	n = 2/3	n = 4/3	n = 5/3	n = 7/3
n =1/4	n = 3/4	n = 5/4	n = 7/4	n = 9/4
n = 1/5	n = 2/5	n = 3/5	n = 4/5	n = 6/5

Las más complicadas...

Caso b > a

n = 1	n = 2 : cacahuete	n = 3	n = 4	n = 5 estrella de mar
n = 1/2	n = 3/2	n = 5/2	n = 7/2	n = 9/2
n = 1/3	n = 2/3	n = 4/3	n = 5/3	n = 7/3
n = 1/4	n = 3/4	n = 5/4	n = 7/4	n = 9/4
n = 1/5	n = 2/5	n = 3/5	n = 4/5	n = 6/5