tag:blogger.com,1999:blog-15264259781813978292024-03-05T05:27:37.117-08:00Departamento de Matemática (ETSR)ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.comBlogger75125tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-58961947344549599532011-09-30T20:53:00.001-07:002011-09-30T20:53:43.733-07:00<span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Verdana, Tahoma, Arial, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 17px;"></span><br />
<h1 align="center" style="color: #003399; font: normal normal normal 22px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 6px;">
El Juego de las Clavijas</h1>
<div align="center" class="center80" style="margin-left: 10%; margin-right: 10%;">
Salta sobre las clavijas - deja solo una.</div>
<table align="center" border="0" style="width: 525px;"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><object classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,79,0" height="500" id="images/solitaire.swf" n="" width="650"><embed src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/juegos/images/solitaire.swf" quality="high" bgcolor="#FFDDFF" menu="false" width="650" height="500" type="application/x-shockwave-flash" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" swliveconnect="true" allowscriptaccess="samedomain" id="images/solitaire.swf" name="images/solitaire.swf"></object></td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"> </td></tr>
<tr height="1"><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"></td></tr>
</tbody></table>
<br /><i><div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
(Este juego necesita Macromedia Flash Player)</div>
</i>ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-3960099263212331142011-09-30T16:48:00.000-07:002011-09-30T18:05:39.168-07:00Curso de Estadística Descriptiva<strong></strong><br />
<div id="__ss_666193" style="width: 425px;">
<div style="text-align: center;">
<span style="display: block; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 12px; text-align: right;"><span class="Apple-style-span" style="font-weight: 800;"><span class="Apple-style-span" style="font-weight: normal;"></span></span></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="display: block; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 12px; text-align: right;"><strong>Para que les sirva como complemento al estudio de la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica_descriptiva" target="_blank">Estadística descriptiva</a>, les sugiero que echen un vistazo a esta presentación que he encontrado en la Internet; les va a a ser útil.</strong></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span style="display: block; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 12px; text-align: right;"><strong></strong></span></div>
<span style="display: block; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 12px; text-align: right;"><strong></strong></span><br />
<div style="text-align: center;">
<span style="display: block; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 12px; text-align: right;"><strong></strong></span></div>
<span style="display: block; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 12px; text-align: right;"><strong></strong></span><br />
<span style="display: block; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 12px; text-align: right;"><strong></strong></span><br />
<span style="display: block; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 12px; text-align: right;"><strong></strong></span><br />
<div id="__ss_666193" style="width: 425px;">
<div style="text-align: center;">
<span style="display: block; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 12px; text-align: right;"><strong><strong style="display: block; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 12px;"><a href="http://www.slideshare.net/yiesbore/curso-estadistica-descriptiva1-presentation" target="_blank" title="Curso Estadistica Descriptiva[1]">Curso Estadistica Descriptiva[1]</a></strong><object height="355" id="__sse666193" width="425"></object></strong></span></div>
<div style="padding-bottom: 12px; padding-left: 0pt; padding-right: 0pt; padding-top: 5px; text-align: center;">
<span style="display: block; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 12px; text-align: right;"><strong>View more <a href="http://www.slideshare.net/" target="_blank">presentations</a> from <a href="http://www.slideshare.net/yiesbore" target="_blank">yiesbore</a></strong></span></div>
</div>
<span style="display: block; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 12px; text-align: right;"><strong>
</strong><strong></strong><br /><br />
<iframe allowtransparency="true" frameborder="0" scrolling="no" src="http://www.facebook.com/plugins/like.php?href=http%3A%2F%2Fprofeblog.es%2Fpedro%2F%3Fp%3D2743&layout=standard&show_faces=false&width=450&action=like&colorscheme=light" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; height: 30px; margin-bottom: 2px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 2px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; width: 450px;"></iframe></span><br />
<strong></strong></div>
</div>
ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-60901218171655347042011-09-30T16:19:00.000-07:002011-09-30T16:19:46.929-07:00Calculadora científica<span class="Apple-style-span" style="background-color: #f6f6f6; font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"></span><br />
<div id="main-wrapper">
<div class="main section" id="main" style="border-left-color: rgb(224, 173, 18); border-left-style: dotted; border-left-width: 1px; float: right; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 10px; padding-left: 1em; padding-right: 0px; padding-top: 30px; width: 816px; word-wrap: break-word;">
<div class="widget Blog" id="Blog1">
<div id="post-one">
<div class="main-post">
<h2 style="margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; text-align: center;">
</h2>
<div class="meta">
</div>
<div class="post-header-line-1">
</div>
<div class="post-body entry-content" style="text-align: center;">
<div style="text-align: right;">
<object data="http://calculadora.info/calculadora_credits.swf" height="600" id="movie" type="application/x-shockwave-flash" width="600"></object></div>
<div style="clear: both;">
</div>
</div>
<div class="post-footer meta" style="color: #444444; font-size: 10px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
<div class="post-footer-line post-footer-line-1" style="text-align: center;">
</div>
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</div>
<div class="post-footer-line post-footer-line-3">
</div>
</div>
</div>
<span class="btm"></span><br />
<div class="blog-pager" id="blog-pager" style="margin-bottom: 1em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 1em; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; text-align: center;">
<br /></div>
</div>
</div>
</div>
</div>
ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-82815297084781478992011-09-30T16:13:00.001-07:002011-09-30T16:15:21.247-07:00Geometría del Pliegue<span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: tahoma, arial, sans-serif; font-size: 13px;"></span><br />
<div style="display: block; margin-bottom: 1em; margin-top: 1em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Podemos introducir la Geometría en 1º (rectas paralelas y perpendiculares que pasen por un punto, puntos medios, puntos simétricos, ...) de una forma muy manipulativa , doblando un papel<strong>*</strong>.</div>
<div style="display: block; margin-bottom: 1em; margin-top: 1em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Si vas a trabajar este recurso manipulativo en clase, te recomiendo que no muestres (al principio) el vídeo que dejo mas adelante y que entregues una hoja impresa con las siguientes actividades:<br />
<strong>ACTIVIDAD 1</strong>. <strong>Recta que pasa por un punto</strong>. Coge una hoja, marca un punto en la hoja y dobla el papel por dicho punto. Al abrir el papel obtienes la recta que pasa por dicho punto.<br />
<strong>ACTIVIDAD 2. Recta que pasa por dos puntos</strong>. Marca dos puntos en la hoja (<strong>A</strong> y <strong>B</strong>) y dobla con mucho cuidado obteniendo al desplegar el papel la recta que pasa por esos dos puntos, con un lápiz marca la recta y la llamas <strong>r</strong>.<br />
<strong>ACTIVIDAD 3. Recta perpendicular a otra recta.</strong> Ahora vas a trazar una recta, <strong>s</strong>, que sea perpendicular a la recta <strong>r</strong> que hemos obtenido en la <strong>ACTIVIDAD 2</strong>. Dobla el papel por la recta <strong>r</strong> y haz una doblez de forma que hagas coincidir dicha recta sobre si misma, despliega el papel, marca la doblez con el lápiz y al desplegar el papel tendrás la recta <strong>s</strong> perpendicular a la recta <strong>r</strong>.<br />
<strong>ACTIVIDAD 4. Recta perpendicular a una recta pero que pase por un punto determinado.</strong> Sobre el papel tenemos las rectas <strong>r</strong> y <strong>s</strong>, ahora marcas un punto cualquiera del papel y lo llamas A con la condición de que dicho punto <strong>A</strong> no pertenezca ni a la recta<strong> r</strong> ni a la recta <strong>s</strong>. Ahora dobla el papel por la recta <strong>r</strong> y haz una doblez de forma que hagas coincidir dicha recta sobre sí misma pero que pase por el punto <strong>A</strong>. Al desplegar el papel obtendrás esta nueva recta a la que puedes llamar <strong>t </strong>y que puedes ver que es perpendicular a <strong>r</strong> y es paralela a <strong>s</strong>.<br />
<strong>ACTIVIDAD 5. Recta paralela a una dada</strong>. Es la perpendicular a una perpendicular.<br />
<strong>ACTIVIDAD 6. Mediatriz y punto medio de un segmento.</strong> Se hacen coincidir en el doblez los extremos del segmento, con lo que éste se dobla sobre sí mismo obteniéndose una perpendicular que es la mediatriz (recta perpendicular a un segmento por su punto medio).<br />
<strong>ACTIVIDAD 7. Punto simétrico y recta simétrica respecto de otra recta.</strong> Se dobla el papel por la recta dada y el punto o la recta descansa sobre su simétrica, querdaría marcarla.<br />
<strong>ACTIVIDAD 8. Bisectriz de un ángulo</strong>. Se dobla el papel de forma que coincidan las líneas que forman el ángulo.</div>
<div style="display: block; margin-bottom: 1em; margin-top: 1em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Os dejo ahora el vídeo en el que hay también otras actividades:</div>
<div style="display: block; margin-bottom: 1em; margin-top: 1em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;">
[youtube]http://www.youtube.com/watch?v=J8xbm_Yk0z4[/youtube]</div>
<div style="display: block; margin-bottom: 1em; margin-top: 1em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
* La manipulación de un papel es un buen ejercicio de razonamiento espacial y se trata de una forma de aprender en la que el logro del objetivo lo obtiene el estudiante por si mismo, siendo nuestra función la de guía, es decir, aprendizaje autónomo. No menos importante es que podemos conseguir que el estudiante incorpore lenguaje matemático a sus conocimientos de manera natural realizando cierta abstracción de determinados elementos como paralelas, perpendiculares, mediatriz, etc</div>
<div style="display: block; margin-bottom: 1em; margin-top: 1em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Referencia: <a href="http://nonio.mat.uc.pt/PENSAS_EN02/geometriahoy/experimentosgeom/geodel.htm" style="color: #1f9574; font-weight: bold; text-decoration: none;" target="_blank">Geometría del Pliegue</a>. Miguel de Guzmán.</div>
ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-70952929970714283782011-09-30T16:09:00.000-07:002011-09-30T16:10:16.537-07:00Propuestas a partir del desarrollo del cubo<br />
<div style="text-align: left;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #df570e; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<span class="Apple-style-span" style="background-color: white; color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px;"><br /></span><br />
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 590px;"><tbody>
<tr><td style="font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px;" width="365"><table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="width: 365px;"><tbody>
<tr><td style="font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px;" width="365"><table background="http://www.uruguayeduca.edu.uy/UserFiles/P0001/Image/portal/CentrodeRecursos/Fichas/fdo_info_ficha.jpg" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" height="56" style="width: 365px;"><tbody>
<tr><td style="font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px;" valign="top"><table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" height="50" id="fichainforec" style="height: 100px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; width: 365px;"><tbody>
<tr><td style="font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px;" valign="top"><br />
<h1 style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 50px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left; text-decoration: none;">
Peso: (en línea) kb</h1>
<h1 style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 50px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left; text-decoration: none;">
Formato: Applets (JAVA)</h1>
<h2 style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 50px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left; text-decoration: none;">
<a href="http://www.sun.com/" style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; text-decoration: none;" target="_blank"><img alt="botón descargar visulizador" border="0" height="12" name="visualizador" src="http://www.uruguayeduca.edu.uy/UserFiles/P0001/Image/portal/CentrodeRecursos/Fichas/bot_visualizdor.gif" vspace="5" width="120" /></a></h2>
</td><td style="font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px;"><div style="font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
<a href="http://www.uruguayeduca.edu.uy/Userfiles/P0001/File/Plantilla_3D__Desarrollo_cubo.html" style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; text-decoration: none;" target="_blank"><img alt="botón descargar archivo" border="0" height="15" name="descargar" src="http://www.uruguayeduca.edu.uy/UserFiles/P0001/Image/portal/CentrodeRecursos/Fichas/bot_descargar.gif" width="93" /></a></div>
</td></tr>
</tbody></table>
</td></tr>
</tbody></table>
</td></tr>
<tr><td id="fichadescrec" style="font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; width: 365px;"><h1 style="color: #df570e; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; font-weight: bold; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 16px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left; text-decoration: none;">
Descripción:</h1>
<div style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; line-height: normal; padding-bottom: 0px; padding-left: 16px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify; text-decoration: none;">
La aplicación ofrece la representación de un cubo o hexaedro al que se le puede modificar su volumen, área y "posición" mediante el empleo de dos deslizadores. Uno de ellos logra el efecto de desarrollo del prisma regular, y el otro, la rotación sobre uno de sus ejes para permitir "observar" a la figura desde diferentes ópticas.<br />
El autor del recurso (Rafael Losada Liste) plantea una serie de preguntas-problemas para que los estudiantes resuelvan. Para acceder al software pulsar sobre el botón "ver archivo" de esta ficha.</div>
<h1 style="color: #df570e; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; font-weight: bold; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 16px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left; text-decoration: none;">
Recursos relacionados:</h1>
<div style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; line-height: normal; padding-bottom: 0px; padding-left: 16px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify; text-decoration: none;">
Texto: <a href="http://www.uruguayeduca.edu.uy/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=f03f91c4-5c65-437b-885d-fed980f20b77&ID=139153" style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; text-decoration: none;" target="_blank"><span style="color: blue;">Los hexaminós</span></a><br />
Videos: <a href="http://www.uruguayeduca.edu.uy/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=f03f91c4-5c65-437b-885d-fed980f20b77&ID=205070" style="color: blue; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; text-decoration: none;" target="_blank">Representación de poliedros platónicos con palitos</a><span id="_P_179_lblCategoria" style="color: blue;"></span><br />
<a href="http://www.uruguayeduca.edu.uy/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=f03f91c4-5c65-437b-885d-fed980f20b77&ID=206033" style="color: blue; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; text-decoration: none;" target="_blank">Construcción de un cubo con origami modular</a><br />
Presentaciones: <a href="http://www.uruguayeduca.edu.uy/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=f03f91c4-5c65-437b-885d-fed980f20b77&ID=136550" style="color: blue; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; text-decoration: none;" target="_blank">Planos de simetría del cubo</a><br />
<span id="_P_179_lblCategoria" style="color: blue;"></span><a href="http://www.uruguayeduca.edu.uy/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=f03f91c4-5c65-437b-885d-fed980f20b77&ID=202015" style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; text-decoration: none;" target="_blank"><span style="color: blue;">Poliedros y no poliedros - Desarrollos - Problemas</span></a><a href="http://www.uruguayeduca.edu.uy/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=f03f91c4-5c65-437b-885d-fed980f20b77&ID=139153" style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; text-decoration: none;" target="_blank"><br /></a>Sitio: <a href="http://www.uruguayeduca.edu.uy/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=f03f91c4-5c65-437b-885d-fed980f20b77&ID=66110" style="color: blue; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; text-decoration: none;" target="_blank">Cuerpos poliedros y redondos</a><br />
Imagen: <a href="http://www.uruguayeduca.edu.uy/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=f03f91c4-5c65-437b-885d-fed980f20b77&ID=209763" style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; text-decoration: none;" target="_blank"><span style="color: blue;">Hexaminós 2</span></a><br />
<br />
Para conocer los últimos recursos de Matemática publicados en<span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Uruguay Educa</span>, se sugiere acceder al blog <a href="http://www.uruguayeduca.edu.uy/Portal.Base/Web/verContenido.aspx?ID=206668" style="color: blue; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; text-decoration: none;">"Novedades Matemática Inicial y Primaria".</a></div>
<div style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; line-height: normal; padding-bottom: 0px; padding-left: 16px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify; text-decoration: none;">
</div>
<h1 style="color: #df570e; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; font-weight: bold; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 16px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left; text-decoration: none;">
Idioma:</h1>
<div style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; line-height: normal; padding-bottom: 0px; padding-left: 16px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify; text-decoration: none;">
Español (ES)</div>
<h1 style="color: #df570e; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; font-weight: bold; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 16px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left; text-decoration: none;">
Requisitos Técnicos:</h1>
<div style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; line-height: normal; padding-bottom: 0px; padding-left: 16px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify; text-decoration: none;">
Aplicación Java<br />
Aplicación Geogebra</div>
<h1 style="color: #df570e; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; font-weight: bold; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 16px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left; text-decoration: none;">
Autor:</h1>
<div style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; line-height: normal; padding-bottom: 0px; padding-left: 16px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify; text-decoration: none;">
Rafael Losada Liste</div>
<h1 style="color: #df570e; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; font-weight: bold; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 16px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left; text-decoration: none;">
Fuente:</h1>
<div style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; line-height: normal; padding-bottom: 0px; padding-left: 16px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify; text-decoration: none;">
Instituto de Tecnologías Educativas (ITE) - Gobierno de España - Ministerio de Educación</div>
<h1 style="color: #df570e; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; font-weight: bold; line-height: normal; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 0px; padding-left: 16px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: left; text-decoration: none;">
</h1>
</td></tr>
</tbody></table>
</td><td style="font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px;" valign="top"><table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody>
<tr><td style="font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px;" width="10"></td><td style="font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px;" width="200"><img alt="Desarrollo del cubo -geogebra" height="121" src="http://www.uruguayeduca.edu.uy/UserFiles/P0001/Image/2009/MatemticaPrimaria/Esther/desarrollo.JPG" summary="Imagen del desarrollo del cubo realizado en aplicación geogebra" width="200" /><a href="http://www.uruguayeduca.edu.uy/UserFiles/P0001/Image/2009/MatemticaPrimaria/Esther/desarrollo.JPG.txt" id="_UserFiles_P0001_Image_2009_MatemticaPrimaria_Esther_desarrollo.JPG" style="color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px; text-decoration: none;">(D)</a></td><td style="font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px;" width="15"><br /></td></tr>
</tbody></table>
</td></tr>
</tbody></table>
<span class="Apple-style-span" style="background-color: white; color: #6e6f64; font-family: 'Trebuchet MS', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 11px;">
</span>ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-90215539631988941632011-09-25T17:17:00.000-07:002011-09-25T17:17:52.850-07:00Sucesiones y series<span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Verdana, Tahoma, Arial, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 17px;"></span><br />
<div align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<i><br /></i></div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
¿Qué es una sucesión?</h2>
<div align="center" class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<br /><span class="large" style="color: black; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif;">Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.</span></div>
<div align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<br /></div>
<table align="center" border="0"><tbody>
<tr><td src="images/sequence.gif" style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><img height="197" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/images/sequence.gif" width="482" /></td></tr>
</tbody></table>
<div align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<br /></div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Finita o infinita</h3>
<div class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Si la sucesión sigue para siempre, es una <b>sucesión infinita</b>,<br />si no es una <b>sucesión finita</b></div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Ejemplos</h3>
<div class="example" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #d8d8ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 8px; margin-left: 50px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una <b>sucesión infinita</b>)</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una <b>sucesión infinita</b>)</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 <b>hacia atrás</b></div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras <b>en order alfabético</b></div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"<b></b></div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que <b>alterna</b> 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)</div>
</div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
En orden</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos <b>qué orden</b>! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Una sucesión es muy parecida a un <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/conjuntos-introduccion.html" style="color: blue;">conjunto</a>, pero con los términos <b>en orden</b> (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).</div>
<div class="example" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #d8d8ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 8px; margin-left: 50px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la <b>sucesión</b> que alterna 0s y 1s. El <b>conjunto</b> sería sólo {0,1}</div>
</div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
La regla</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Una sucesión sigue una <b>regla</b> que te dice cómo calcular el valor de cada término.</div>
<div class="example" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #d8d8ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 8px; margin-left: 50px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:</div>
<div align="center" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
<img alt="{3, 5, 7, 9, ...}" border="1" height="102" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/images/sequence2.gif" width="347" /></div>
</div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
</h3>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
¡Pero la regla debería ser una fórmula!</h3>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Decir que "<i>empieza por 3 y salta 2 cada vez</i>" no nos dice cómo se calcula el:</div>
<ul style="color: #0000aa; font-size: 13px; margin-top: -3px;">
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">10º término,</li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">100º término, o</li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;"><span class="large" style="color: black; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif;">n-ésimo término <i>(donde <b>n</b> puede ser cualquier número positivo que queramos).</i></span></li>
</ul>
<span class="large" style="color: black; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif;"><div align="center" class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Así que queremos una fórmula con "<span class="large" style="color: black; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif;">n</span>" dentro (donde <span class="large" style="color: black; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif;">n</span> será la posición que tiene el término).</div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?</h3>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:</div>
<div align="center" class="large" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Probamos la regla: 2n</div>
<div class="beach">
<table align="center" border="0" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0c0; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font: normal normal normal 15px/normal 'Comic Sans MS', sans-serif; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">n</th><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font: normal normal normal 15px/normal 'Comic Sans MS', sans-serif; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">Término</th><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font: normal normal normal 15px/normal 'Comic Sans MS', sans-serif; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">Prueba</th></tr>
<tr align="center"><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>1</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">3</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">2<b>n</b> = 2×<b>1</b> = <b>2</b></td></tr>
<tr align="center"><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>2</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">5</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">2<b>n</b> = 2×<b>2</b> = <b>4</b></td></tr>
<tr align="center"><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>3</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">7</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">2<b>n</b> = 2×<b>3</b> = <b>6</b></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Esto <b>casi</b> funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad <b>menos</b> de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:</div>
<div align="center" class="large" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Probamos la regla: 2n+1</div>
<div class="beach">
<table align="center" border="0" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0c0; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font: normal normal normal 15px/normal 'Comic Sans MS', sans-serif; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">n</th><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font: normal normal normal 15px/normal 'Comic Sans MS', sans-serif; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">Término</th><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font: normal normal normal 15px/normal 'Comic Sans MS', sans-serif; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">Regla</th></tr>
<tr align="center"><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>1</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">3</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">2<b>n</b>+1 = 2×<b>1</b> + 1 = 3</td></tr>
<tr align="center"><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>2</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">5</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">2<b>n</b>+1 = 2×<b>2 </b>+ 1 = 5</td></tr>
<tr align="center"><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>3</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">7</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">2<b>n</b>+1 = 2×<b>3</b> + 1 = 7</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<b>¡Funciona!</b></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como</div>
<div align="center" class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: <b>2n+1</b></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Ahora, por ejemplo, podemos calcular el <b>término 100º</b>: 2 × 100 + 1 = <b>201</b></div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Notación</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:</div>
<div class="beach">
<table align="center" border="0" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0c0; background-image: initial; background-origin: initial; border-collapse: collapse; width: 600px;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="31%"> </td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="69%"><h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Posición del término</h3>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="31%"><img height="83" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/images/sequence-term.gif" width="260" /></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="69%"><div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Es normal usar <b>x<sub>n</sub></b> para los términos:</div>
<ul style="color: #0000aa; font-size: 13px; margin-top: -3px;">
<li class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 19px; list-style-type: disc;"><b>x<sub>n</sub></b> es el término</li>
<li class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 19px; list-style-type: disc;"><b>n</b> es la posición de ese término</li>
</ul>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="31%"> </td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="69%">Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: <b>x<sub>5</sub></b></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:</div>
<div align="center" class="large" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
x<sub>n</sub> = 2n+1</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:</div>
<div align="center" class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
x<sub>10</sub> = 2<b>n</b>+1 = 2×<b>10</b>+1 = 21</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<i>¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?</i></div>
Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:<h2 align="center" style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Tipos de sucesiones</h2>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Sucesiones aritméticas</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque <b>la diferencia entre un término y el siguiente es una constante</b>.</div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Ejemplos</h3>
<div class="simple">
<table align="center" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><span class="large" style="color: black; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif;">1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...</span></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.<br />La regla es <b>x<sub>n</sub> = 3n-2</b></div>
<br /><br /><div class="simple">
<table align="center" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><span>3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38,</span><span class="large" style="color: black; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif;"> ...</span></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.<br />La regla es <b>x<sub>n</sub> = 5n-2</b><div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<br /></div>
</div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Sucesiones geométricas</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.</div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Ejemplos:</h3>
<div class="simple">
<table align="center" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><span>2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256</span><span class="large" style="color: black; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif;">, ...</span></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.<br />La regla es <b>x<sub>n</sub> = 2<sup>n</sup></b></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
</div>
<div class="simple">
<table align="center" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><span>3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187</span><span class="large" style="color: black; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif;">, ...</span></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.<br />La regla es <b>x<sub>n</sub> = 3<sup>n</sup></b></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<br /></div>
<div class="simple">
<table align="center" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><span>4, 2, 1, 0.5, 0.25, .</span><span class="large" style="color: black; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif;">..</span></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.<br />La regla es <b>x<sub>n</sub> = 4 × 2<sup>-n</sup></b></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<br /></div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Sucesiones especiales</h2>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
<b><a href="" id="triangular" name="triangular"></a>Números triangulares</b></h3>
<div class="simple">
<table align="center" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><span>1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45</span><span class="large" style="color: black; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif;">, ...</span></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.<br />Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.</div>
<center><div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<img alt="números triangulares" height="109" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/trianglenumbers.gif" width="407" /></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Pero es más fácil usar la regla</div>
<div class="large" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
x<sub>n</sub> = n(n+1)/2</div>
</center><div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Ejemplo:</div>
<ul style="color: #0000aa; font-size: 13px; margin-top: -3px;">
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">El quinto número triangular es x<sub>5</sub> = 5(5+1)/2 = <b>15</b>,</li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">y el sexto es x<sub>6</sub> = 6(6+1)/2 = <b>21</b></li>
</ul>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
<b>Números cuadrados</b></h3>
<div class="simple">
<table align="center" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><span>1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81</span><span class="large" style="color: black; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif;">, ...</span></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición. </div>
<div align="center" class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
La regla es<b> x<sub>n</sub> = n<sup>2</sup></b></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<br /></div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
<b>Números cúbicos</b></h3>
<div class="simple">
<table align="center" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><span>1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729</span><span class="large" style="color: black; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif;">, ...</span></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición. </div>
<div align="center" class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
La regla es<b> x<sub>n</sub> = n<sup>3</sup></b></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<br /></div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
<b><a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fibonacci-sucesion.html" style="color: blue;">Números de Fibonacci</a></b></h3>
<div class="simple">
<table align="center" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><span>0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34</span><span class="large" style="color: black; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif;">, ...</span></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.<br />El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)<br />El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)</div>
<div align="center" class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
La regla es <b>x<sub>n</sub> = x<sub>n-1</sub> + x<sub>n-2</sub></b></div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
</h3>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Por ejemplo el 6º término se calcularía así:</div>
<div align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<b>x<sub>6</sub> = x<sub>6-1</sub> + x<sub>6-2</sub> = x<sub>5</sub> + x<sub>4</sub> = 5 + 3 = 8</b></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
</div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Series</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la<b>suma</b> de una sucesión.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Sucesión: {1,2,3,4}</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Serie: 1+2+3+4 = 10</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Las series se suelen escribir con el símbolo <span class="times" style="font: normal normal bold 150%/normal 'Times New Roman', serif;">Σ</span> que significa "súmalos todos":</div>
<table align="center" border="0"><tbody>
<tr><td align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="26%"><img alt="suma de 1 a 4" height="52" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/images/sum-n-1-4.png" width="41" /></td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="74%">Esto significa "suma de 1 a 4" = 10</td></tr>
<tr><td align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px;"> </td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"> </td></tr>
<tr><td align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><img alt="suma 2n+1" height="51" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/images/sum-2n1-1-4.png" width="96" /></td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;">Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión<b>2n+1</b>"<br /><br />Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24<br /></td></tr>
</tbody></table>
</span><span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Verdana, Tahoma, Arial, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 17px;"><h1 align="center" style="color: #003399; font: normal normal normal 22px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 6px;">
Sucesiones - Encontrar la regla</h1>
<div align="center" class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Para encontrar un número que falta en una sucesión, primero tienes que conocer <b>la regla</b></div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Definición rápida de sucesión</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Lee sobre <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html" style="color: blue;">sucesiones y series</a> para conocer el tema bien, pero por ahora:</div>
<div align="center" class="large" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) que están en algún orden.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Cada número en la sucesión es un <b>término</b> (a veces "elemento" o "miembro"):</div>
<table align="center" border="0"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><img height="197" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/images/sequence.gif" width="482" /></td></tr>
</tbody></table>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Encontrar números que faltan</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Para calcular un número que falta primero necesitas saber <b>la regla</b> que sigue la sucesión.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
A veces basta con mirar los números y ver el patrón.</div>
<div class="example" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #d8d8ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 8px; margin-left: 50px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">
<h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 0px; margin-left: -8px; margin-right: 0px; margin-top: -8px; padding-bottom: 18px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Ejemplo: 1, 4, 9, 16, ?</h3>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Respuesta: son <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/cuadrados-raices-cuadradas.html" style="color: blue;">cuadrados</a> (1<sup>2</sup>=1, 2<sup>2</sup>=4, 3<sup>2</sup>=9, 4<sup>2</sup>=16, ...)</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
<b>Regla: x<sub>n</sub> = n<sup>2</sup></b></div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Sucesión: 1, 4, 9, 16, <b>25, 36, 49, ...</b></div>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
¿Has visto cómo escribimos la regla con "x" y "n"?</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<b>x<sub>n</sub></b> significa "el término en la posición n", así que el tercer término sería <b>x<sub>3</sub></b></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Y también hemos usado "n" en la fórmula, así que para el tercer término hacemos 3<sup>2</sup> = 9. Esto se puede escribir</div>
<div align="center" class="large" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
x<sub>3</sub> = 3<sup>2</sup> = 9</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Cuando sepamos la regla, la podemos usar para calcular cualquier término, por ejemplo término 25º se calcula "poniendo dentro" <b>25</b> donde haya una <b>n</b>.</div>
<div align="center" class="large" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
x<sub>25</sub> = 25<sup>2</sup> = 625</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Qué tal si vemos otro ejemplo:</div>
<div class="example" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #d8d8ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 8px; margin-left: 50px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">
<h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 0px; margin-left: -8px; margin-right: 0px; margin-top: -8px; padding-bottom: 18px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Ejemplo: 3, 5, 8, 13, 21, ?</h3>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Son la suma de los dos que están delante, o sea 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 y sigue así (en realidad es parte de la <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fibonacci-sucesion.html" style="color: blue;">Sucesión de Fibonacci</a>):</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
<b>Regla: x<sub>n</sub> = x<sub>n-1</sub> + x<sub>n-2</sub></b></div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Sucesión: 3, 5, 8, 13, 21, <b>34, 55, 89, ...</b></div>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
¿Qué significa <b>x<sub>n-1</sub></b> aquí? Bueno, sólo significa "el término anterior" porque la posición (<b>n-1</b>) es uno menos que (<b>n</b>).</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Entonces, si <b>n</b> es <b>6</b>, será <b>x<sub>n</sub> = x<sub>6</sub></b> (el 6º término) y <b>x<sub>n-1</sub> = x<sub>6-1</sub> = x<sub>5</sub></b> (el 5º término)</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Vamos a aplicar la regla al 6º término:</div>
<div align="center" class="large" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
x<sub>6</sub> = x<sub>6-1</sub> + x<sub>6-2</sub></div>
<div align="center" class="large" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
x<sub>6</sub> = x<sub>5</sub> + x<sub>4</sub></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Ya sabemos que el 4º es 13, y que el 5º es 21, así que la respuesta es:</div>
<div align="center" class="large" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
x<sub>6</sub> = 21<sub></sub> + 13 = 34</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Muy simple... sólo pon números en lugar de "n"</div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Muchas reglas</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Uno de los problemas que hay en "encontrar el siguiente término" de una sucesión es que las matemáticas son tan potentes que siempre hay más de una regla que vale.</div>
<div class="example" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #d8d8ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 8px; margin-left: 50px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">
<h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 0px; margin-left: -8px; margin-right: 0px; margin-top: -8px; padding-bottom: 18px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 1, 2, 4, 7, ?</h3>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Hay (por lo menos) tres soluciones:</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
<br style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 0px; margin-left: -8px; margin-right: 0px; margin-top: -8px; padding-bottom: 8px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;" /></div>
<div class="large" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; color: black; font-size: 13px; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Solución 1: suma 1, después suma 2, 3, 4, ...</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Entonces, 1+<b>1</b>=2, 2+<b>2</b>=4, 4+<b>3</b>=7, 7+<b>4</b>=11, etc...</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
<b>Regla: x<sub>n</sub> = n(n-1)/2 + 1</b></div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Sucesión: 1, 2, 4, 7, <b>11, 16, 22, ...</b></div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
(La regla parece complicada, pero funciona)</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
<br /></div>
<div class="large" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; color: black; font-size: 13px; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Solución 2: suma los dos números anteriores más 1:</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
<b>Regla: x<sub>n</sub> = x<sub>n-1</sub> + x<sub>n-2</sub> + 1</b></div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Sucesión: 1, 2, 4, 7, <b>12, 20, 33, ...</b></div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
<br /></div>
<div class="large" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; color: black; font-size: 13px; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Solución 3: suma los tres números anteriores</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
<b>Regla: x<sub>n</sub> = x<sub>n-1</sub> + x<sub>n-2</sub> + x<sub>n-3</sub></b></div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Sucesión: 1, 2, 4, 7, <b>13, 24, 44, ...</b></div>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Así que tenemos tres soluciones razonables, y cada una da una sucesión diferente.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
¿Cuál es la correcta? <b>Todas son correctas.</b></div>
<table border="0"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><img alt="carrera" height="72" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/images/race.jpg" width="150" /></td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Y habrá otras soluciones.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Hey, puede ser una lista de números ganadores... así que el siguiente será... ¡cualquiera!</div>
</td></tr>
</tbody></table>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
La regla más simple</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Cuando dudes, elige <b>la regla más simple</b> que funcione, pero menciona también que hay otras soluciones.</div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Calcular diferencias</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
A veces ayuda encontrar <b>diferencias</b> entre los términos... muchas veces esto nos muestra una pauta escondida.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Aquí tienes un ejemplo sencillo:</div>
<div align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<img height="83" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/images/sequences-first-differences.gif" width="218" /></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Las diferencias siempre son 2, así que podemos adivinar que "2n" es parte de la respuesta.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Probamos <b>2n</b>:</div>
<div class="simple">
<table align="center" border="0" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="150">n:</th><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40">1</th><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40">2</th><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40">3</th><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40">4</th><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40">5</th></tr>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="150">Términos (x<sub>n</sub>):</th><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">7</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">9</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">11</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">13</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">15</td></tr>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="150">2n:</th><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">2</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">4</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">6</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">8</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">10</td></tr>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="150">Error:</th><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">5</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">5</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">5</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">5</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">5</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
La última fila nos dice que siempre nos faltan 5, así que sumamos 5 y acertamos:</div>
<div align="center" class="large" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Regla: x<sub>n</sub> = 2n + 5</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
OK, podías haber calculado "2n+5" jugando un poco con los números, pero queremos un <b>sistema</b>que funcione, para cuando las sucesiones sean complicadas.</div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Segundas diferencias</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
En la sucesión <b>{1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...} </b>tenemos que calcular las diferencias...</div>
<div class="indent50px" style="margin-left: 50px;">
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
... y después calcular las diferencias de <b>esas</b> diferencias (se llaman <i>segundas diferencias</i>), así:</div>
</div>
<h2 align="center" style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
<img height="141" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/images/sequences-second-differences.gif" width="296" /></h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
En este caso las <b>segundas diferencias</b> son 1.</div>
<div align="center" class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Con las segundas diferencias multiplicamos por "n<sup>2</sup> / 2".</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
En nuestro caso la diferencia es 1, así que probamos <b>n<sup>2</sup> / 2</b>:</div>
<div class="simple">
<table align="center" border="0" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="150">n:</th><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40">1</th><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40">2</th><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40">3</th><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40">4</th><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40">5</th></tr>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="150"><b>Términos (x<sub>n</sub>):</b></th><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>1</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>2</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>4</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>7</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>11</b></td></tr>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"> </th><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"> </td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"> </td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"> </td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"> </td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"> </td></tr>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="150">n<sup>2</sup>:</th><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">1</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">4</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">9</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">16</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">25</td></tr>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">n<sup>2</sup> / 2:</th><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>0.5</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>2</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>4.5</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>8</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><b>12.5</b></td></tr>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="150">Error:</th><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">0.5</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">0</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">-0.5</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">-1</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">-1.5</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Estamos cerca, pero nos estamos desviando en 0.5 cada vez más, así que probamos ahora: <b>n<sup>2</sup> / 2 - n/2</b></div>
<div class="simple">
<table align="center" border="0" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">n<sup>2</sup> / 2 - n/2:</th><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40"><b>0</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40"><b>1</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40"><b>3</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40"><b>6</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40"><b>10</b></td></tr>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="150">Error:</th><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">1</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">1</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">1</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">1</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">1</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Ahora nos sale 1 menos, así que sumamos 1:</div>
<div class="simple">
<table align="center" border="0" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">n<sup>2</sup> / 2 - n/2 + 1:</th><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40"><b>1</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40"><b>2</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40"><b>4</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40"><b>7</b></td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="40"><b>11</b></td></tr>
<tr align="center"><th style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #99bbee; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="150">Error:</th><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">0</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">0</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">0</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">0</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">0</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
La fórmula n<sup>2</sup> / 2 - n/2 + 1 se puede simplificar a <b>n(n-1)/2 + 1</b></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Así que, con "prueba y error" hemos conseguido descubrir la regla.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, <b>29, 37, ...</b></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<b><br /></b></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<b>Fuente: <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html">http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html</a></b></div>
</span>ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-38826790785604566902011-09-25T17:13:00.000-07:002011-09-25T17:13:45.161-07:00Función<span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Verdana, Tahoma, Arial, sans-serif;"></span><br />
<h1 align="center" style="color: #003399; font-size: 13px; font: normal normal normal 22px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 6px;">
¿Qué es una función?</h1>
<table align="center" border="0" style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="11%"><img height="104" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/function-cogs.gif" width="150" /></td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="89%"><div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra.</div>
</td></tr>
</tbody></table>
<h2 style="color: #993300; font-size: 13px; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; line-height: 17px; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Ejemplos</h2>
<ul style="color: #0000aa; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-top: -3px;">
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">"Multiplicar por 2" es una función muy simple</li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">La <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/cuadrados-raices-cuadradas.html" style="color: blue;">raíz cuadrada</a> (√) es una función</li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;"><a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/seno-coseno-tangente.html" style="color: blue;">Seno, coseno y tangente</a> son funciones que se usan en trigonometría</li>
</ul>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Pero no vamos a ver funciones concretas...<br /><span class="indent50px" style="margin-left: 50px;">... ahora vamos a ver la <b>idea general</b> de una función.</span></div>
<h2 style="color: #993300; font-size: 13px; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; line-height: 17px; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Nombres</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Primero, es útil darle un nombre a una función. El nombre más común es "<i><b>f</b></i>", pero puedes ponerle otros como "<i><b>g</b></i>" ... o hasta "<i><b>mermelada</b></i>" si quieres.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Y también está bien darle nombre a lo que se va adentro de la función, se pone entre paréntesis () después del nombre de la función:</div>
<div align="center" class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Así que <b><i>f(x)</i></b> te dice que la función se llama "<b><i>f</i></b>", y "<b><i>x</i></b>" se pone dentro</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Y normalmente verás lo que la función hace a la entrada:</div>
<div align="center" class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<b><i>f(x) = x<sup>2</sup></i><sup></sup> </b>nos dice que la función "<i><b>f</b></i>" toma "<i><b>x</b></i>" y lo eleva al cuadrado.</div>
<div align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<img height="117" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/function-box.jpg" width="320" /></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Así que con la función "<i>f(x) = x<sup>2</sup></i>", una entrada de 4 da una salida de 16. De hecho podemos escribir<b> f(4) = 16</b>.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Nota: a veces las funciones no tienen nombre, y puede que veas algo como <b>y = x<sup>2</sup></b></div>
<h2 style="color: #993300; font-size: 13px; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; line-height: 17px; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Relacionar</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Arriba dije que una función es <b>como</b> una máquina. Pero una función no tiene engranajes ni correas ni partes que se muevan. ¡Y no destruye lo que pones dentro!</div>
<div align="center" class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
En realidad, una función <i><b>relaciona</b></i> la entrada con la salida.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Decir que "<b>f(4) = 16</b>" es como decir que 4 está relacionado de alguna manera con 16. O también 4 → 16</div>
<table align="center" border="0" style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><tbody>
<tr><td height="14" style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><img height="148" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/tree.jpg" width="172" /></td><td height="14" style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Ejemplo: este árbol crece 20 cm cada año, así que la altura del árbol está <i><b>relacionada</b></i> con la edad por la función <i><b>a</b></i>:</div>
<div align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<b><i>a</i>(edad) = edad × 20</b></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Así que si la edad es 10 años, la altura es <i>a</i>(10) = 200 cm</div>
</td></tr>
</tbody></table>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Volveremos a esta idea después de responder la pregunta...</div>
<h2 style="color: #993300; font-size: 13px; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; line-height: 17px; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
¿Con qué tipo de cosas trabaja una función?</h2>
<div class="indent50px" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: 50px;">
<div class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Los <i>"números"</i> parecen una respuesta clara, pero...</div>
</div>
<table align="center" border="0" style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><tbody>
<tr><td colspan="2" style="font-size: 13px; line-height: 17px;"></td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="11%"><img height="48" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/style/calc.gif" width="48" /></td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="89%"><div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
... ¿qué números? Por ejemplo, la función de la altura del árbol <b><i>a</i>(edad) = edad×20 </b>no tiene sentido si la edad es menor que cero.</div>
</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="11%"><img height="48" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/style/codes.gif" width="48" /></td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="89%">... también podrían ser letras ("A"→"B"), o códigos de identificación ("A6309"→"Acceso") o cosas más raras.</td></tr>
</tbody></table>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Así que tenemos que usar algo <b>más general</b>, y ahí es donde entran en juego los <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/conjuntos-introduccion.html" style="color: blue;">conjuntos</a>:</div>
<div class="simple" style="font-size: 13px; line-height: 17px;">
<table align="center" border="0" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="17%"><table border="0" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td height="16" style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><img height="80" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/various-integers.gif" width="100" /></td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><img height="80" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/various-reals.gif" width="100" /></td></tr>
</tbody></table>
</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" valign="middle" width="83%"><h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Un conjunto es una colección de cosas, por ejemplo números.</h3>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Aquí tienes algunos ejemplos:</div>
<div class="indent50px" style="margin-left: 50px;">
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
El conjunto de los números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}<br />Un conjunto de ropa: {"sombrero","camisa",...}<br />El conjunto de los números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}<br />Los múltiplos de 3 que son más pequeños que 10: {3, 6, 9}</div>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Cada cosa individual en un conjunto (como "4" o "sombrero") es un <b>miembro</b>, o <b>elemento</b>.</div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Así que una función toma <b>elementos de un conjunto</b>, y devuelve (normalmente con algún cambiados) elementos de un conjunto. Con esto llegamos a la definición formal:</div>
<table border="0" style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="27%"><img height="165" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/function-sets.gif" width="250" /></td><td align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="73%"><h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Definición formal de función</h2>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Una función relaciona cada elemento de un conjunto<br />con un elemento exactamente de otro conjunto<br />(puede ser el mismo conjunto).</h3>
</td></tr>
</tbody></table>
<table align="center" border="0" style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"> </td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"> </td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><img height="46" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/style/right-arrow.gif" width="46" /></td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;">"exactamente uno" significa que la función es <i><b>univaluada</b></i>. No devolverá 2 o más resultados para la misma entrada. ¡Así que "f(2) = 7 <b>o</b> 9" no vale!</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><img height="46" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/style/right-arrow.gif" width="46" /></td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><b>Cada</b> elemento de "X" se relaciona con un elemento de "Y". Decimos que la función <i><b>cubre</b></i> "X" (relaciona cada elemento de)</td></tr>
</tbody></table>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
También fíjate que en el dibujo de arriba hay dos elementos en "X" que se relacionan con el mismo elemento de "Y". No pasa nada. No hay ninguna regla contra esto.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Y finalmente, fíjate en que algunos elementos de "Y" no se relacionan con nada. Eso también vale.</div>
<div class="center80" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-left: 10%; margin-right: 10%; margin-top: 15px;">
Esto son cosas normales entre funciones, pero algunos tipos de funciones cumplen reglas más estrictas, para saber más lee sobre <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/inyectivo-sobreyectivo-biyectivo.html" style="color: blue;">inyectivo, sobreyectivo y biyectivo</a></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<br /></div>
<table border="0" style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><img alt="no univaluada" height="199" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/vertical-line-test.gif" width="252" /></td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
La prueba de la línea vertical</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
En un gráfico, la idea de <b>univaluada</b> significa que ninguna línea vertical cruza más de una vez.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Si alguna <b>cruzara más de una vez</b> no sería <b>una función</b>.</div>
</td></tr>
</tbody></table>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<br /></div>
<h2 style="color: #993300; font-size: 13px; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; line-height: 17px; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Dominio, codominio y rango</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
En el dibujo de arriba</div>
<ul style="color: #0000aa; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-top: -3px;">
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">el conjunto "X" es el <b>dominio</b>,</li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">el conjunto "Y" es el <b>codominio</b>, y</li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">el conjunto de elementos de Y a los que llega alguna flecha (los valores verdaderos de la función) se llama <b>rango</b> o <b>imagen</b>.</li>
</ul>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Tenemos una página especial sobre <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/dominio-rango-codominio.html" style="color: blue;">dominio, codominio y rango</a> por si quieres saber más.</div>
<h2 style="color: #993300; font-size: 13px; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; line-height: 17px; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Pares ordenados</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Puedes escribir las entradas y salidas de una función como "pares ordenados", como (4,16).</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Se llaman pares <b>ordenados</b> porque la entrada siempre va primero y la salida después.</div>
<div align="center" class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Así que (4,16) significa que la función toma "4" y devuelve "16"</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Y una función se puede definir como un <b>conjunto de pares ordenados</b>:</div>
<div class="example" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #d8d8ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; margin-left: 50px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Ejemplo: {(2,4), (4,5), (7,3)} es una función que dice que "2 se relaciona con 4", "4 se relaciona con 5" y "7 se relaciona con 3". <br style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 0px; margin-left: -8px; margin-right: 0px; margin-top: -8px; padding-bottom: 8px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;" /><br style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 0px; margin-left: -8px; margin-right: 0px; margin-top: -8px; padding-bottom: 8px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;" />Fíjate también en que el dominio es {2,4,7} y el rango es {4,5,3}</div>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Pero la función debe ser <b>univaluada</b>, esto se puede decir</div>
<div align="center" class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
"si contiene (a, b) y (a, c), entonces b tiene que ser igual a c"</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Es otra manera de decir que una entrada "a" no puede dar dos resultados diferentes.</div>
<div class="example" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #d8d8ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; margin-left: 50px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Ejemplo: {(<b>2</b>,<b>4</b>), (<b>2</b>,<b>5</b>), (7,3)} <b>no</b> es una función porque {2,4} y {2,5} quieren decir que 2 estaría relacionado con 4 <b>y</b> 5, o sea <b>no es univaluada</b></div>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
</div>
<h2 style="color: #993300; font-size: 13px; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; line-height: 17px; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Conclusión</h2>
<div class="bigul">
<ul style="color: #0000aa; font-size: 15px; line-height: 17px; margin-top: -3px;">
<li style="font-size: 15px; line-height: 19px; list-style-type: disc; margin-bottom: 0px; margin-left: 6px; margin-right: 0px; margin-top: 14px; padding-bottom: 2px; padding-left: 6px; padding-right: 2px; padding-top: 2px;">una función <b>relaciona</b> entradas con salidas</li>
<li style="font-size: 15px; line-height: 19px; list-style-type: disc; margin-bottom: 0px; margin-left: 6px; margin-right: 0px; margin-top: 14px; padding-bottom: 2px; padding-left: 6px; padding-right: 2px; padding-top: 2px;">una función toma elementos de un conjunto (el <b>dominio</b>) y los relaciona con elementos de un conjunto (el <b>codominio</b>).</li>
<li style="font-size: 15px; line-height: 19px; list-style-type: disc; margin-bottom: 0px; margin-left: 6px; margin-right: 0px; margin-top: 14px; padding-bottom: 2px; padding-left: 6px; padding-right: 2px; padding-top: 2px;">las salidas (los verdaderos valores de la función) se llaman la <b>imagen</b> o <b>rango</b></li>
<li style="font-size: 15px; line-height: 19px; list-style-type: disc; margin-bottom: 0px; margin-left: 6px; margin-right: 0px; margin-top: 14px; padding-bottom: 2px; padding-left: 6px; padding-right: 2px; padding-top: 2px;">una entrada sólo produce una salida (no una <b>u</b> otra)</li>
<li style="font-size: 15px; line-height: 19px; list-style-type: disc; margin-bottom: 0px; margin-left: 6px; margin-right: 0px; margin-top: 14px; padding-bottom: 2px; padding-left: 6px; padding-right: 2px; padding-top: 2px;">una entrada y la salida que corresponde se llaman juntos un <b>par ordenado</b></li>
<li style="font-size: 15px; line-height: 19px; list-style-type: disc; margin-bottom: 0px; margin-left: 6px; margin-right: 0px; margin-top: 14px; padding-bottom: 2px; padding-left: 6px; padding-right: 2px; padding-top: 2px;">así que una función también se puede ver como un <b>conjunto de pares ordenados</b></li>
</ul>
</div>
<span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Verdana, Tahoma, Arial, sans-serif; font-size: 13px;"><h1 align="center" style="color: #003399; font: normal normal normal 22px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 6px;">
Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo</h1>
<div align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
"Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una<a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/funcion.html" style="color: blue;">función</a>.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" <b>a</b> los de otro conjunto "B":</div>
<div align="center" style="line-height: 17px;">
<img alt="Funciones general, inyectiva, sobreyectiva y biyectiva" height="210" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/function-mapping.gif" width="546" /></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
"Injectivo" significa que cada elemento de "B" tiene <b>como mucho uno</b> de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene <b>por lo menos uno</b> de "A" (a lo mejor más de uno).</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.</div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; line-height: 17px; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Definiciones formales</h2>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Inyectivo</h3>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Una función <b><i>f</i></b> es <b>inyectiva</b> si, cuando <b><i>f(x) = f(y)</i></b>, <b><i>x = y</i></b>.</div>
<div class="example" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #d8d8ff; background-image: initial; background-origin: initial; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; margin-left: 50px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
<b>Ejemplo:</b> <b><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x<sup>2</sup></i></b> del conjunto de los números naturales <img alt="naturales" height="16" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/set-natural.gif" width="15" /> a <img alt="naturales" height="16" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/set-natural.gif" width="15" /> es una función inyectiva.</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
(Pero <b><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x<sup>2</sup></i></b> <b>no</b> es inyectiva cuando es desde el conjunto de <b>enteros</b> <img alt="enteros" height="15" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/set-integer.gif" width="14" /> (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo</div>
<ul style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0000aa; font-size: 13px; margin-bottom: 0px; margin-left: -8px; margin-right: 0px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 45px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;"><b><i>f</i>(<i>2</i>) = 4 y</b></li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;"><b><i>f</i>(<i>-2</i>) = 4</b>)</li>
</ul>
</div>
<div class="center80" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-left: 10%; margin-right: 10%; margin-top: 15px;">
Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva.</div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Sobreyectivo (o también "epiyectivo")</h3>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Una función <b><i>f</i></b> (de un conjunto <i><b>A</b></i> a otro <i><b>B</b></i>) es <b>sobreyectiva</b> si para cada <b><em>y</em></b> en <i><b>B</b></i>, existe por lo menos un <b><em>x</em></b> en <i><b>A</b></i> que cumple <span class="style1" style="font-weight: bold;"><em>f</em>(<em>x</em>) = <em>y</em></span>, en otras palabras <b><i>f</i></b> es sobreyectiva si y sólo si <b><i>f(A) = B</i></b>.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.</div>
<div class="example" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #d8d8ff; background-image: initial; background-origin: initial; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; margin-left: 50px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
<b>Ejemplo:</b> la función <b><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>2x</i></b> del conjunto de los números naturales <img alt="naturales" height="16" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/set-natural.gif" width="15" /> al de los números pares no negativos es <b>sobreyectiva</b>.</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Sin embargo, <b><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>2x</i></b> del conjunto de los números naturales <img alt="naturales" height="16" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/set-natural.gif" width="15" /> a <img alt="naturales" height="16" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/set-natural.gif" width="15" /> <b>no es sobreyectiva</b>, porque, por ejemplo, ningún elemento de <img alt="naturales" height="16" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/set-natural.gif" width="15" /> va al <b><i>3</i></b> por esta función.</div>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
</div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Biyectiva</h3>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Una función <b><em>f</em></b> (del conjunto <i><b>A</b></i> al <i><b>B</b></i>) es <b>biyectiva</b> si, para cada <b><em>y</em></b> en <i><b>B</b></i>, hay exactamente un <b><em>x</em></b> en<i><b>A</b></i> que cumple que <span class="style1" style="font-weight: bold;"><em>f</em>(<em>x</em>) = <em>y</em></span></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Alternativamente, <b><em>f</em></b> es biyectiva si es a la vez <strong>inyectiva y sobreyectiva.</strong></div>
<div class="example" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #d8d8ff; background-image: initial; background-origin: initial; margin-bottom: 8px; margin-left: 50px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
<b>Ejemplo:</b> La función <b><i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x<sup>2</sup></i></b> del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es <b>biyectiva</b>.</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo</div>
<ul style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; color: #0000aa; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 0px; margin-left: -8px; margin-right: 0px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 45px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;"><b><i>f</i>(<i>2</i>)=4 y</b></li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;"><b><i>f</i>(<i>-2</i>)=4</b>)</li>
</ul>
</div>
</span><span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Verdana, Tahoma, Arial, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 17px;"><h1 align="center" style="color: #003399; font: normal normal normal 22px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 6px;">
Dominio, codominio y rango</h1>
<table align="center" border="0"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="49%"><img height="176" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/range-domain-graph.gif" width="301" /></td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="51%"><div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
En su forma más simple el dominio son todos los valores a los que aplicar una función, y el rango son los valores que resultan.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Pero de hecho son conceptos importantes cuando se <b>define</b> una función. ¡Sigue leyendo!</div>
</td></tr>
</tbody></table>
<div align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<i>Por favor, primero lee "<a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/funcion.html" style="color: blue;">¿Qué es una función?</a>"...</i></div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Funciones</h2>
<div class="larger" style="color: black; font-size: 13px; font: normal normal normal 15px/20px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Una función <i><b>relaciona</b></i> una entrada con una salida.</div>
<table align="center" border="0"><tbody>
<tr><td height="14" style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><img height="148" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/tree.jpg" width="172" /></td><td height="14" style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Ejemplo: este árbol crece 20 cm cada año, así que la altura del árbol está <i><b>relacionada</b></i> con la edad por la función <i><b>a</b></i>:</div>
<div align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<b><i>a</i>(edad) = edad × 20</b></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Así que si la edad es 10 años, la altura es <i>a</i>(10) = 200 cm</div>
</td></tr>
</tbody></table>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Decir que "<b><i>a</i>(10) = 200</b>" es como relacionar 10 con 200. O bien 10 → 200</div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Entrada y salida</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Pero muchas veces es importante decir qué valores <b>pueden entrar</b> y <b>pueden salir</b> de una función.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
</div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Aquí tienes algunas razones:</h3>
<ul style="color: #0000aa; font-size: 13px; margin-top: -3px;">
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">La función no funciona si das valores equivocados (como una edad negativa)</li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">Limitar los valores de entrada te puede permitir hacer después cosas especiales con la función</li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">Saber el tipo de valores de salida (por ejemplo siempre positivos) también ayuda</li>
</ul>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Entonces, ¿cómo se dice lo que entra o sale en una función? <b>respuesta: se usan <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/conjuntos-introduccion.html" style="color: blue;">conjuntos</a>...</b></div>
<div class="simple">
<table align="center" border="0" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" width="17%"><table border="0" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #ffdeff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td height="16" style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><img height="80" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/various-integers.gif" width="100" /></td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;"><img height="80" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/various-reals.gif" width="100" /></td></tr>
</tbody></table>
</td><td style="border-bottom-color: white; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-left-color: white; border-left-style: solid; border-left-width: 2px; border-right-color: white; border-right-style: solid; border-right-width: 2px; border-top-color: white; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; font-size: 13px; line-height: 17px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;" valign="middle" width="83%"><h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Un conjunto es una colección de cosas, por ejemplo números.</h3>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Aquí tienes unos ejemplos:</div>
<div class="indent50px" style="margin-left: 50px;">
Conjunto de números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}<br />Conjunto de números impares: {..., -3, -1, 1, 3, ...}<br />Conjunto de números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}<br />Múltiplos positivos de 3 que son menores que 10: {3, 6, 9}</div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
De hecho, las funciones se definen sobre conjuntos:</h3>
<table border="0"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="27%"><img height="165" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/function-sets.gif" width="250" /></td><td align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="73%"><h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Definición formal de una función</h2>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Una función relaciona cada elemento de un conjunto<br />con exactamente un elemento de otro conjunto<br />(puede ser el mismo conjunto).</h3>
</td></tr>
</tbody></table>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Dominio y rango</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Hay nombres especiales para <b>lo que puede entrar</b>, y también <b>lo que puede salir</b> de una función:</div>
<table align="center" border="0"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><img class="in" height="46" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/style/right-arrow.gif" style="vertical-align: middle;" width="46" /><img class="in" height="50" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/style/run.jpg" style="vertical-align: middle;" width="50" /></td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;">Lo que puede <b>entrar</b> en una función se llama el <b>dominio</b></td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><img class="in" height="50" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/style/run.jpg" style="vertical-align: middle;" width="50" /><img class="in" height="46" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/style/right-arrow.gif" style="vertical-align: middle;" width="46" /></td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;">Lo que <b>es posible que salga</b> de una función se llama el <b>codominio</b></td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><img class="in" height="50" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/style/run.jpg" style="vertical-align: middle;" width="50" /><img class="in" height="46" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/style/right-arrow.gif" style="vertical-align: middle;" width="46" /></td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;">Lo que <b>en realidad sale</b> de una función se llama <b>rango</b> o <b>imagen</b></td></tr>
</tbody></table>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Entonces, en el diagrama de arriba el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos realmente por la función) son el rango.</div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Parte de la función</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Lo que sale <i>(el rango)</i> depende de lo que pones <i>(el dominio)</i>, pero <b>TÚ</b> defines el dominio.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una función diferente.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Ejemplo: una simple función como f(x) = x<sup>2</sup> puede tener <b>dominio</b> (lo que entra) los números de contar {1,2,3,...}, y el <b>rango</b> será entonces el conjunto {1,4,9,...}</div>
<div align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<img height="115" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/range-domain.jpg" width="448" /></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Y otra función g(x) = x<sup>2</sup> puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...}</div>
<div align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<img height="123" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/range-domain2.jpg" width="475" /></div>
<table align="center" border="0"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="10%"><img class="in" height="50" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/style/run.jpg" style="vertical-align: middle;" width="50" /></td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="90%">Aunque las dos funciones toman la entrada y la elevan al cuadrado, operan en <b>conjuntos diferentes de entradas</b>, y por eso dan salidas diferentes.</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="10%"> </td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="90%"> </td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="10%"><img height="35" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/style/pencil-paper.gif" width="39" /></td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="90%"><div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
También tienen diferentes propiedades.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Por ejemplo f(x) siempre da resultados distintos, pero g(x) puede dar la misma respuesta para dos entradas (como <b>g(-2)=4</b> y <b>g(2)=4</b>)</div>
</td></tr>
</tbody></table>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Así que el dominio es una parte muy importante de la función.</div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Entonces, ¿todas las funciones tienen su dominio?</h3>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Sí, pero en matemáticas sencillas no lo notas, porque el dominio <b><i>se supone</i></b>:</div>
<ul style="color: #0000aa; font-size: 13px; margin-top: -3px;">
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">Normalmente se supone que es algo así como "todos los números que hacen que funcione".</li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">O si estás estudiando números enteros, el dominio será los enteros.</li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">etc.</li>
</ul>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
¡Pero en matemáticas más avanzadas tienes que tener cuidado!</div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Codominio y rango</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
El codominio y el rango tienen que ver con la salida, pero no son exactamente lo mismo.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
El codominio es el conjunto de valores que <b>podrían</b> salir.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
El rango es el conjunto de valores que <b>realmente</b> salen.</div>
<div class="example" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #d8d8ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 8px; margin-left: 50px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Ejemplo: puedes definir una función <i><b>f(x)=2x</b></i> con dominio y codominio los enteros (porque tú lo eliges así).</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Pero si lo piensas, verás que el rango (los valores que salen de verdad) son sólo los enteros <b>pares</b>.</div>
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Así que el codominio son los enteros (lo has elegido tú) pero el rango son los enteros pares.</div>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Así que rango es un subconjunto del codominio.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<b>¿Por qué los dos?</b> Bueno, a veces no conoces <i><b>exactamente</b></i> el rango (porque la función es complicada o no es conocida del todo), pero sabes el conjunto <i><b>en el que está</b></i> (como los enteros o los reales). Así que defines el codominio y sigues trabajando.</div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
La importancia del codominio</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Déjame que te haga una pregunta: ¿la <b><i><a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/cuadrados-raices-cuadradas.html" style="color: blue;">raíz cuadrada</a></i></b> es una función?</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Si tú dices que el codominio (las salidas posibles) es <b>el conjunto de los números reales</b>, ¡entonces la raíz cuadrada <b>no es una función</b>! ... ¿te sorprende?</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
La razón es que podría haber dos respuestas para una entrada, por ejemplo <b><i>f(9) = 3 </i></b>o<b><i> -3</i></b></div>
<div class="def" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: honeydew; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: rgb(255, 192, 112); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(255, 192, 112); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(255, 192, 112); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(255, 192, 112); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; margin-bottom: 0px; margin-left: 40px; margin-right: 40px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 15px; padding-right: 15px; padding-top: 0px;">
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Una <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/funcion.html" style="color: blue;">función</a> debe ser <i><b>univaluada</b></i>. No puede dar 2 resultados para el mismo valor de entrada. ¡Por ejemplo "f(2) = 7 <b>o</b> 9" no está bien!</div>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Pero se puede arreglar simplemente <b>limitando el codominio</b> a los números reales no negativos.</div>
<div class="def" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: honeydew; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: rgb(255, 192, 112); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(255, 192, 112); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(255, 192, 112); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(255, 192, 112); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; margin-bottom: 0px; margin-left: 40px; margin-right: 40px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 15px; padding-right: 15px; padding-top: 0px;">
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<span class="huge" style="font: normal normal bold 30px/40px Verdana, Tahoma, Arial, sans-serif;">√</span>De hecho, el símbolo radical (como en <b>√x</b>) siempre significa la raíz cuadrada positiva (la principal), así que <b>√x</b> es una función porque su codominio es correcto.</div>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Así que <b>el codominio que elijas</b> puede afectar el que algo <b>sea o no una función</b>.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<br /></div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Notación</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
A los matemáticos no les gusta escribir muchas palabras cuando unos pocos símbolos hacen el mismo trabajo. Así que hay maneras de decir que "el dominio es", "el codominio es", etc.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Esta es la mejor manera que conozco:</div>
<table align="center" border="0"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="29%"><div align="center">
<img height="20" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/f-n-n.png" width="84" /></div>
</td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="71%"><div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Esto dice que la función "<i><b>f</b></i>" tiene dominio "<b>N</b>" (los <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-naturales-enteros.html" style="color: blue;">números naturales</a>), y también codominio "<b>N</b>".</div>
</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="29%"><div align="center">
<img height="25" src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/images/f-x-x2.png" width="97" /></div>
</td><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="71%"><div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
y esto dice que la función "f" toma "x" y devuelve "x<sup>2</sup>"</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<br /></div>
</td></tr>
</tbody></table>
</span><span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Verdana, Tahoma, Arial, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 17px;">Fuente: <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/dominio-rango-codominio.html">http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/dominio-rango-codominio.html</a></span>ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-17554878941276725242011-09-22T21:07:00.000-07:002011-09-22T21:10:07.570-07:00Gráfico de funciones y calculadora<span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Verdana, Tahoma, Arial, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 17px;"></span><br />
<h1 align="center" style="color: #003399; font: normal normal normal 22px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 6px;">
</h1>
<div align="center">
<b><a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/grafico-funciones.php#description" style="color: blue;">Descripción</a></b> :: <b><a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/grafico-funciones.php#functions" style="color: blue;">Todas las funciones</a></b></div>
<table align="center" border="0"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><object classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,79,0" height="632" id="images/function-grapher.swf" n="" width="660"><embed src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/images/function-grapher.swf" quality="high" bgcolor="#FFFFFF" menu="false" width="660" height="632" type="application/x-shockwave-flash" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" swliveconnect="true" allowscriptaccess="samedomain" id="images/function-grapher.swf" name="images/function-grapher.swf"></object>Function Grapher and Calculator ---> Gráfico de funciones y calculadora<br />
Sample ---> Ejemplo<br />
Plot ---> Dibujar<br />
Calculate ---> Calcular<br />
In 2X ---> Acercar 2X<br />
Alejar 2X ---> Alejar 2X<br />
Alejar 10X ---> Alejar 10X<br />
Reset ---> Reiniciar</td></tr>
</tbody></table>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=1526425978181397829" id="description" name="description"></a></div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
<b>Descripción</b></h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Este programa es una utilidad gráfica completa que permite representar gráficamente dos funciones simultáneamente.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Tiene la cualidad única de permitir <b>grabar tu trabajo como URL</b> (enlace web).</div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Uso</h2>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Para representar una función simplemente escrbela en el cuadro de funciones.</h3>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Usa "x" como variable, o escoge tu propia letra, después pulsa el botón <b>Dibujar</b>.</div>
<div class="example" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #d8d8ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; margin-bottom: 8px; margin-left: 50px; margin-right: 0px; margin-top: 10px; padding-bottom: 3px; padding-left: 3px; padding-right: 3px; padding-top: 3px;">
<div style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; font-size: 13px; line-height: 17px; margin-left: -8px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 15px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
Ejemplos:</div>
<ul style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #f0f0ff; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0000aa; font-size: 13px; margin-bottom: 0px; margin-left: -8px; margin-right: 0px; margin-top: -8px; padding-bottom: 12px; padding-left: 45px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;">
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">sin(x)</li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">2x-3</li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">cos(x^2)</li>
<li style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">(x-3)(x+3)</li>
</ul>
</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Puedes utilizar el botón "Calcular" para ver cmo se interpreta tu fórmula.</div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Ampliar y Recentrar</h3>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Para ampliar un área, seleccinala con el ratón (pincha, mantén pulsado y arrastra, después suelta). El área que selecciones determinará los nuevos límites. Esto hará que las escalas en los ejes x e y sean diferentes.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Si sólo pinchas y sueltas (sin crear el rectángulo), el lugar donde pinches será el nuevo centro.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Puedes alejarte usando los botones <b>Alejar 2X</b> y <b>Alejar 10x</b>.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Para reiniciar el alejamiento a los límites originales pincha en el botón <b>Reiniciar</b>.</div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<br /></div>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=1526425978181397829" id="functions" name="functions"></a></div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
<b>Todas las funciones</b></h2>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Operadores</h3>
<table border="0" cellpadding="4"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%">+</th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">Operador de suma</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%">-</th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">Operador de resta</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%">*</th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">Operador de multiplicación</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%">/</th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">Operador de división</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%">^</th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">Operador de potencia/exponente/índice</td></tr>
</tbody></table>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<br /></div>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
Funciones</h3>
<table border="0" cellpadding="4"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%"><b>sqrt</b></th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">Raíz cuadrada de un valor o expresión.</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%"><b>sin</b></th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">seno de un valor o expresión</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%"><b>cos</b></th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">coseno de un valor o expresión</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%"><b>tan</b></th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">tangente de un valor o expresión</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%"><b>asin</b></th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">inversa del seno (arcoseno) de un valor o expresión</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%"><b>acos</b></th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">inversa del coseno (arcocoseno) de un valor o expresión</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%"><b>atan</b></th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">inversa de la tangente (arcotangente) de un valor o expresión</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%"><b>sinh</b></th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">Inversa del seno hiperbólico (arcoseno) de un valor o expresión</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%"><b>cosh</b></th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">Inversa del coseno hiperbólico (arcocoseno) de un valor o expresión</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%"><b>tanh</b></th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">Inversa de la tangente hiperbólica (arcotangente) de un valor o expresión</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%"><b>exp</b></th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">e (Constante de Euler) elevada a la potencia de un valor o expresión</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%"><b>ln</b></th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">Logaritmo natural de un valor o expresión</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%"><b>log</b></th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">Logaritmo en base 10 de un valor o expresión</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%">floor</th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">Devuelve el menor (más cercano a infinito negativo) valor que no es menor que el argumento y es igual a un número entero.</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%">ceil</th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">Devuelve el mayor (más cercano a infinito positivo) valor que no es mayor que el argumento y es igual a un número entero.</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%">abs</th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">Valor absoluto (distancia desde cero) de un valor o expresión</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%">sign</th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">Signo (+1 o -1) de un valor o expresión</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%"></th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%"></td></tr>
</tbody></table>
<h3 style="color: #6600cc; font: normal normal bolder 14px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 10px;">
<b>Constantes</b></h3>
<table border="0" cellpadding="4"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%">pi</th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">La constante <span style="font-family: 'Times New Roman', Times, serif;">π</span> (3.141592654...)</td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="8%"></td><th width="10%">e</th><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;" width="82%">La constante de Euler (2.71828...), la base de los logaritmos naturales<br />
<br />
Fuente: <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/grafico-funciones.php">http://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/grafico-funciones.php</a></td></tr>
</tbody></table>
ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-44156062279983743782011-09-22T20:53:00.000-07:002011-09-22T20:53:19.531-07:00Tetris 3D<span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Verdana, Tahoma, Arial, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 17px;"></span><br />
<h1 align="center" style="color: #003399; font: normal normal normal 22px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 6px;">
<br /></h1>
<div align="center" class="center80" style="margin-left: 10%; margin-right: 10%;">
Pon tus habilidades tridimensionales a trabajar!</div>
<table align="center" border="0" style="width: 525px;"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><object classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,79,0" height="500" id="images/3dtris.swf" n="" width="650"><embed src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/juegos/images/3dtris.swf" quality="high" bgcolor="#222288" menu="false" width="650" height="500" type="application/x-shockwave-flash" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" swliveconnect="true" allowscriptaccess="samedomain" id="images/3dtris.swf" name="images/3dtris.swf"></object></td></tr>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"> </td></tr>
<tr height="1"><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><br /><br />Fuente: <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/juegos/tetris-3d.html">http://www.disfrutalasmatematicas.com/juegos/tetris-3d.html</a></td></tr>
</tbody></table>
ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-76445733430724812222011-09-21T10:17:00.000-07:002011-09-22T20:43:00.423-07:00<span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Verdana, Tahoma, Arial, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 17px;"></span><br />
<h1 align="center" style="color: #003399; font: normal normal normal 22px/normal Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif; margin-bottom: 8px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 6px;">
Cuatro en línea</h1>
<div align="center" style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
<span class="large" style="color: black; font: normal normal bold 16px/21px Verdana, Georgia, helvetica, 'Times New Roman', serif;"><span style="color: blue;">Para ganar: conecta cuatro fichas en una columna, fila o diagonal</span></span><br />
(¡Nos hemos vuelto <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/juegos/connect-crazy.html" style="color: blue;">¡locos conectando!</a> mira todas las nuevas versiones)</div>
<table align="center" border="0"><tbody>
<tr><td style="font-size: 13px; line-height: 17px;"><object classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,79,0" height="424" id="images/four-in-line.swf" n="" width="620"><embed src="http://www.disfrutalasmatematicas.com/juegos/images/four-in-line.swf" quality="high" bgcolor="#FFFFFF" menu="false" width="620" height="424" type="application/x-shockwave-flash" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" swliveconnect="true" allowscriptaccess="samedomain" id="images/four-in-line.swf" name="images/four-in-line.swf"></object></td></tr>
</tbody></table>
<div align="center">
<br /></div>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Reglas del cuatro en línea</h2>
<ul style="color: #0000aa; font-size: 13px; margin-top: -3px;">
<li class="Larger" style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">Pon el cursor sobre la columna donde quieres dejar caer tu ficha.</li>
<li class="Larger" style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">Pulsa el botón izquierdo para dejar caer tu ficha</li>
<li class="Larger" style="font-size: 13px; line-height: 19px; list-style-type: disc;">Cuando conectes cuatro fichas en horizontal, vertical o diagonal, ganas</li>
</ul>
<h2 style="color: #993300; font: normal normal 200 18px/normal 'Comic Sans MS', Verdana, Georgia, helvetica, sans-serif; margin-bottom: 4px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 35px;">
Historia</h2>
<div style="font-size: 13px; line-height: 17px; margin-bottom: 18px; margin-top: 15px;">
Este juego tiene siglos de antigüedad, el capitán James Cook solía jugar con sus oficiales en sus largos viajes, así que también se lo llama "La señora del capitán". Milton Bradley (ahora propiedad de Hasbro) publicó una versión de este juego llamada "Conecta cuatro"<br />
<br />
Fuente: <a href="http://www.disfrutalasmatematicas.com/juegos/4-en-linea.html">http://www.disfrutalasmatematicas.com/juegos/4-en-linea.html</a></div>
ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-11742935814809360652011-09-20T09:32:00.001-07:002011-09-20T09:33:00.080-07:00ESPIRALES<span class="Apple-style-span" style="background-color: #e0e0e0; color: #333333; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px;"><strong><span style="color: #ff6600;">ESPIRAL LOGARÍTMICA O ESPIRAL MARAVILLOSA</span></strong><br /><br />Es la espiral más común en la naturaleza. Esta forma geométrica se puede encontrar en las conchas de l<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjF4FGTjitS8rk9ExQO4-YBRGRJ86h8j4EnVZL6ixqLtfxq8h8uqZMELmLv2k9vTuOKOgKsA_9eDILwykVpG6TkYIW1OwnnjqxXtwlArPnJhyphenhyphenkNrk4-pyFI9UFIelCu2n_7SDhK0oo4MBTM/s1600/logaritmica.png" style="color: #0066cc;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5612753354071076530" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjF4FGTjitS8rk9ExQO4-YBRGRJ86h8j4EnVZL6ixqLtfxq8h8uqZMELmLv2k9vTuOKOgKsA_9eDILwykVpG6TkYIW1OwnnjqxXtwlArPnJhyphenhyphenkNrk4-pyFI9UFIelCu2n_7SDhK0oo4MBTM/s400/logaritmica.png" style="border-bottom-color: rgb(192, 192, 192); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(192, 192, 192); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; float: left; height: 121px; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; padding-bottom: 6px; padding-left: 6px; padding-right: 6px; padding-top: 6px; width: 154px;" /></a>os moluscos, en las galaxias, en los patrones meteorológicos, en los patrones de vuelo de aves e insectos y en los patrones de construcción de las telarañas.<br /><br />Fue investigada por <strong>Jakob Bernoulli</strong>, que la llamo <strong><span style="color: #ff6600;"><em>Spira Mirabilis</em></span></strong> (Espiral Maravillosa). Impresionado por sus propiedades, pidió que fuera grabada en su tumba (Basilea 1782) con la máxima <strong><em>“eadem mutata resurgo”</em></strong>, aunque por error se grabó una espiral de Arquímedes.<br /><br /><br /></span><br />
<div>
La espiral logarítmica se distingue de la de <strong>Arquímedes</strong> por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en progresión geométrica.</div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgT5qZuFF3daYqgFrEs4yzVTIbUBxKwN8D-IrVQVmxYtumGth0iyp1UC5Xn1QhSO6agInyBx75odfrbDHh3_J3MBJR9P11ckAYxATrK65Zgi7jOSFQo0PR0Ih74iBTqVUOrnoEfX-FZntsC/s1600/ciclones.jpg" style="color: #0066cc;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5613663636641507874" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgT5qZuFF3daYqgFrEs4yzVTIbUBxKwN8D-IrVQVmxYtumGth0iyp1UC5Xn1QhSO6agInyBx75odfrbDHh3_J3MBJR9P11ckAYxATrK65Zgi7jOSFQo0PR0Ih74iBTqVUOrnoEfX-FZntsC/s400/ciclones.jpg" style="border-bottom-color: rgb(192, 192, 192); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(192, 192, 192); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; float: right; height: 119px; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 6px; padding-left: 6px; padding-right: 6px; padding-top: 6px; width: 169px;" /></a><br /><br /><br /><div>
Los brazos de las galaxias espirales son aproximadamente espirales logarítmicas. <em>La Vía Láctea</em>, se cree que tiene cuatro brazos espirales mayores, cada uno de los cuales es una espiral logarítmica de unos 12 grados.</div>
<br /><br /><div>
Los brazos de los ciclones tropicales, como los huracanes, también forman espirales logarítmicas.</div>
<br /><br /><div>
<strong><span style="color: #ff6600;">ESPIRAL HIPERBÓLICA O ESPIRAL RECÍPROCA</span></strong>.</div>
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<br /><br /><div>
Es también llamada <strong>Espiral Reciproca</strong> y es considerada la<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaiufE5rGzfzCJg-_cEjrl4frPrAOMFt-jd1uIwzb73Tv82i0zg9g9X6h6Sg4Fw0kNam7YF19eDe3L24fRVl1NGYVwKsFT8l715FWQQvUPUs25KLW5dSXyJ0-ez1TADebddfVQP1XpsJY3/s1600/hyperspiral2.png" style="color: #0066cc;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5612753272681454418" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaiufE5rGzfzCJg-_cEjrl4frPrAOMFt-jd1uIwzb73Tv82i0zg9g9X6h6Sg4Fw0kNam7YF19eDe3L24fRVl1NGYVwKsFT8l715FWQQvUPUs25KLW5dSXyJ0-ez1TADebddfVQP1XpsJY3/s400/hyperspiral2.png" style="border-bottom-color: rgb(192, 192, 192); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(192, 192, 192); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; float: left; height: 111px; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; padding-bottom: 6px; padding-left: 6px; padding-right: 6px; padding-top: 6px; width: 127px;" /></a> espiral<em>inversa a la de Arquímedes</em>. Es uno de los tipos de espiral más comunes en la naturaleza. Se halla generalmente en las conchas de los moluscos (en especial de la familia Gasterópoda) y en los centros de las flores.</div>
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<strong><span style="color: #ff6600;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: #ff6600;">ESPIRAL DE ARQUÍMEDES O ESPIRAL ARITMÉTICA.</span></strong></div>
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<br />La espiral de Arquímedes fue descrita por <strong>Arquímedes</strong> en su libro<em>De las Espirales</em> en<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEir8IQ0Oi0sYyzJhX79zzaIg1KIuUGPTI_Us7JklJN07pfI9HvUbcpX9ND3YuFGj367iGHlF36XUFCSKMT5UBjNZvk_dE_dcrzxlucSua7NyZCXJtFw-fTxkTAnVEevySriF3BcGDqYWiYv/s1600/arquimedes.png" style="color: #0066cc;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5612752565651188946" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEir8IQ0Oi0sYyzJhX79zzaIg1KIuUGPTI_Us7JklJN07pfI9HvUbcpX9ND3YuFGj367iGHlF36XUFCSKMT5UBjNZvk_dE_dcrzxlucSua7NyZCXJtFw-fTxkTAnVEevySriF3BcGDqYWiYv/s400/arquimedes.png" style="border-bottom-color: rgb(192, 192, 192); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(192, 192, 192); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; float: left; height: 142px; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; padding-bottom: 6px; padding-left: 6px; padding-right: 6px; padding-top: 6px; width: 166px;" /></a> el siglo III antes de Cristo., se llama también espiral aritmétic<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlFO5bssoMMvfs0L-re9pvPsIR7BqgKbOMijYAEAI2l3m-FcqxzKr-2jz_eseHI5h6KlB_mpilm6KbkZ2ld5l12s9eYco49j7csjbULmZ2ftXzYNUi-p0TWHrY6D8J7K6RHWGqYuvK2EG7/s1600/torniarqui.gif" style="color: #0066cc;"></a>a.</div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTQ6NRwWf6CDSGvL-bICmfHWFNc76M92_ZdcVnV1GGmy9S1Z6j3u5v6oRB4W7t_aO6UGLzvn-Gp-QdGUbpkVwDYgndKCTwmzK_bMV48P8E7CVFFnxr7Cd79DCH-SVtowW7vbJpuPwv_nZy/s1600/torniarqui.gif" style="color: #0066cc;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5613666712083827394" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTQ6NRwWf6CDSGvL-bICmfHWFNc76M92_ZdcVnV1GGmy9S1Z6j3u5v6oRB4W7t_aO6UGLzvn-Gp-QdGUbpkVwDYgndKCTwmzK_bMV48P8E7CVFFnxr7Cd79DCH-SVtowW7vbJpuPwv_nZy/s400/torniarqui.gif" style="border-bottom-color: rgb(192, 192, 192); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(192, 192, 192); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; float: right; height: 99px; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 6px; padding-left: 6px; padding-right: 6px; padding-top: 6px; width: 162px;" /></a><br /><br /><div>
Se define como el lugar geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que a su vez gira alrededor de un punto de origen fijo con una velocidad angular constante.<br />Esta curva se distingue por el hecho de que vueltas sucesivas de la misma tienen distancias de separación constantes.<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguL-bMi9yPRJF9q1Ap2pNUbt5aqHSY9S9WK0_dXazvtusiiODn6VaeDP1JlyEdeloUaYUNElcf0r_Dgr3rFvHDZ11dWAisnQ8k_lz2ZVJQaYZiMpu3YJUaLA9GmICjKib7d7jzz2jCodpe/s1600/triskel_2.gif" style="color: #0066cc;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5612756810475029458" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguL-bMi9yPRJF9q1Ap2pNUbt5aqHSY9S9WK0_dXazvtusiiODn6VaeDP1JlyEdeloUaYUNElcf0r_Dgr3rFvHDZ11dWAisnQ8k_lz2ZVJQaYZiMpu3YJUaLA9GmICjKib7d7jzz2jCodpe/s400/triskel_2.gif" style="border-bottom-color: rgb(192, 192, 192); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(192, 192, 192); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; float: right; height: 101px; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 6px; padding-left: 6px; padding-right: 6px; padding-top: 6px; width: 119px;" /></a></div>
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<br /><br /><div>
Al hablar de espirales, la primer forma que se nos viene a la mente es este tipo de espiral. El matemático <strong>Arquimedes</strong> utilizo esta sencilla forma para crear la hélice y así poder inventar el <em>"Tornillo de Arquimedes". </em>mecanismo usado hoy en día para transportar líquidos a diferentes niveles verticales.</div>
<br /><br /><div>
Las espirales representan la fuerza de vida. Muy típica de las espirales celtas es la espiral de tres brazos o "trisquel".</div>
<br /><br /><div>
<strong><span style="color: #ff6600;">ESPIRAL DE CORNÚ O CLOTOIDE</span></strong> (véase boletín nº 15, junio 2009 ).</div>
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La espiral de <strong>Cornú </strong>o clotoide, en honor de <strong>Marie Alfred Cornu</strong>, es una cur<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhulSl1RK6dSBfctkjJHvJDpUYFZjXPXbXS6iSbdVNvd9pQ2z3zzln0WRpH5yVnEK6H5aevBFoCtuGRFeUzFX15OLXlnebsEyw2Yq6kF88rvLwvSO8vvt2bfPVtxXi0TNCisoj6bcrWIM5X/s1600/monrusa1.jpg" style="color: #0066cc;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5613664262953134754" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhulSl1RK6dSBfctkjJHvJDpUYFZjXPXbXS6iSbdVNvd9pQ2z3zzln0WRpH5yVnEK6H5aevBFoCtuGRFeUzFX15OLXlnebsEyw2Yq6kF88rvLwvSO8vvt2bfPVtxXi0TNCisoj6bcrWIM5X/s400/monrusa1.jpg" style="border-bottom-color: rgb(192, 192, 192); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(192, 192, 192); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; float: right; height: 76px; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 6px; padding-left: 6px; padding-right: 6px; padding-top: 6px; width: 112px;" /></a>va tangente al eje de las abcisas e<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1z-GtV47f0LD3kaoRy4n9-ZplKDUiNaaLigev7LslI5I1fk6WE0uBuk6jLSIxG9MeSeEyYJT4WYsityBbXQFkFmmZcoOF56Xf1J8SIg2XSFhQnIcNrtqnPtRMkxhykq-0eyING3Qnn0Zu/s1600/clotoide3.jpg" style="color: #0066cc;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5612752786074938610" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1z-GtV47f0LD3kaoRy4n9-ZplKDUiNaaLigev7LslI5I1fk6WE0uBuk6jLSIxG9MeSeEyYJT4WYsityBbXQFkFmmZcoOF56Xf1J8SIg2XSFhQnIcNrtqnPtRMkxhykq-0eyING3Qnn0Zu/s400/clotoide3.jpg" style="border-bottom-color: rgb(192, 192, 192); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(192, 192, 192); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; float: left; height: 142px; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; padding-bottom: 6px; padding-left: 6px; padding-right: 6px; padding-top: 6px; width: 143px;" /></a>n el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella.</div>
<br /><br /><div>
Por ello, en el punto origen de la curva, el radio es infinito<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiys3GLO1UDJQgEP_d6WtrIf8JfKS2qLeEgsdckS-i6v8Eq4jbeZzqRlPGmvyB4VIPRDCuhdVsMMaQOVIrPCYJurXqo1asSAGDZtAi9Ird4C96Mf7zH7CJvrPojeNQm2Ctlwlcl7AXZmXMY/s1600/clotoide+autopista.jpg" style="color: #0066cc;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5612755448416641826" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiys3GLO1UDJQgEP_d6WtrIf8JfKS2qLeEgsdckS-i6v8Eq4jbeZzqRlPGmvyB4VIPRDCuhdVsMMaQOVIrPCYJurXqo1asSAGDZtAi9Ird4C96Mf7zH7CJvrPojeNQm2Ctlwlcl7AXZmXMY/s400/clotoide+autopista.jpg" style="border-bottom-color: rgb(192, 192, 192); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(192, 192, 192); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; float: right; height: 81px; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 6px; padding-left: 6px; padding-right: 6px; padding-top: 6px; width: 106px;" /></a> y se usa en la construcción de carriles de aceleración y deceleración en las autovías, autopistas, vías ferroviarias y montañas rusas.<br /><br />Los loops (vueltas) son arcos de clotoide, ya que su forma alargada y simétrica evita la influencia de la fuerza centrípeta en los vehículos al tomar las curvas.<br /><br /><strong><span style="color: #ff6600;">ESPIRAL DE FERMAT.</span></strong> <strong><span style="color: #ff6600;">ESPIRALPARABÓLICA</span></strong></div>
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Espiral P<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgymf4q4AuhXFLiGCTXQdfbpYuVrUx1qPxVz8UxI526DW4G5gzVrApcDxZG_6oQ3rgg63gaDGSowlb9NAwFrLLophxuN8v5ilSRdzNeT7NzndxbS6UUmJldNuHgrMdsOS8bFC0LZZhOL5WA/s1600/fermat.png" style="color: #0066cc;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5612753126973861506" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgymf4q4AuhXFLiGCTXQdfbpYuVrUx1qPxVz8UxI526DW4G5gzVrApcDxZG_6oQ3rgg63gaDGSowlb9NAwFrLLophxuN8v5ilSRdzNeT7NzndxbS6UUmJldNuHgrMdsOS8bFC0LZZhOL5WA/s400/fermat.png" style="border-bottom-color: rgb(192, 192, 192); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(192, 192, 192); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; float: left; height: 120px; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; padding-bottom: 6px; padding-left: 6px; padding-right: 6px; padding-top: 6px; width: 136px;" /></a>arabólica es un tipo de espiral poco común en el mundo natural, la espiral de Fermat se halla más que todo en los cálculos y las ecuaciones para determinar coordenadas.</div>
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Llamada así en honor al científico y matemático <strong>Pierre de Fermat</strong>, la espiral de Fermat es considerada una versión más avanzada de la Espiral de Arquimedes. También es conocida como la Espiral Parabólica.</div>
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<span style="color: #ff6600;"><strong></strong></span></div>
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<span style="color: #ff6600;"><strong>ESPIRALES EN EL ARTE: LA ESPIRAL DE DURERO</strong></span></div>
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En 1525, <strong>Alberto Durero</strong> (1471-1528) famoso grabador y pintor del Renacimiento alemán, publica un<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWotqCkEEHeliI-Ft-g2rWjaANxmeri-y-xklY5s9PEVnocsN2VzArV7xuu7CTLUBjVIJBPnTw_gtfBHAQAf-jc2AnJEoHdz5WQY6g0U0AGfQ2s6xKxK_KUXNJQMiwApCS8TWcbyV8uGQm/s1600/Durero0.jpg" style="color: #0066cc;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5613660976355024034" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWotqCkEEHeliI-Ft-g2rWjaANxmeri-y-xklY5s9PEVnocsN2VzArV7xuu7CTLUBjVIJBPnTw_gtfBHAQAf-jc2AnJEoHdz5WQY6g0U0AGfQ2s6xKxK_KUXNJQMiwApCS8TWcbyV8uGQm/s400/Durero0.jpg" style="border-bottom-color: rgb(192, 192, 192); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(192, 192, 192); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; float: left; height: 151px; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; padding-bottom: 6px; padding-left: 6px; padding-right: 6px; padding-top: 6px; width: 119px;" /></a>a obra titulada:” Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas”.</div>
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En ella enseña varios métodos para construir diversas figuras geométricas. Entre esas figuras, destaca la construcción con regla y compás de algunas espirales y entre ellas una que pasará a la historia con su nombre:<em><span style="color: #ff6600;">la Espiral de Durero. </span></em>Esta espiral es muy famosa en el arte ya que tras ella se encuentra el <strong>número de oro</strong> .Se construye a partir de los rectángulos áureos, que son aquellos en que la razón de sus lados es fi, ɸ, el número de oro.</div>
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CONSTRUYE TÚ PROPIA ESPIRAL DE DURERO <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEickJfoy_5MJ9uh3-0EQQdA_TngsUSSEOP_XFFRhzSjILTfWVZXRZf9pZJk7aVGvMCh1hd7IF95jh9rSZUiRApifr3DATs9sceoRKOZ1amIXhL3Dpegi7UPyPEK-rW-iLgTaqRDZoz-YQ_i/s1600/durero3.gif" style="color: #0066cc;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5613661125857112210" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEickJfoy_5MJ9uh3-0EQQdA_TngsUSSEOP_XFFRhzSjILTfWVZXRZf9pZJk7aVGvMCh1hd7IF95jh9rSZUiRApifr3DATs9sceoRKOZ1amIXhL3Dpegi7UPyPEK-rW-iLgTaqRDZoz-YQ_i/s400/durero3.gif" style="border-bottom-color: rgb(192, 192, 192); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(192, 192, 192); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; float: right; height: 135px; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 6px; padding-left: 6px; padding-right: 6px; padding-top: 6px; width: 237px;" /></a><br /><br />No es ni una espiral de Arquímedes ni una espiral logarítmica pues ninguna de las dos puede construirse con regla y compás.</div>
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Sin embargo se aproxima más a la logarítmica.</div>
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Si a un rectángulo áureo le quitamos un cuadrado de lado, el lado menor del rectángulo, el rectángulo que queda es semejante al primero, luego, también, áureo.</div>
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Construimos una sucesión de rectángulos áureos y cuadrados encajados y unimos mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos, con centro otro vértice del mismo cuadrado, uniendo estos arcos obtenemos la <strong>Espiral de Durero</strong>.</div>
<br /><br /><div>
<strong>SUCESIÓN DE FIBONACCI</strong> : La sucesión de Fibonacci es la sucesión infinita de números naturales: 1,1,2,3,5,8,13,…….¿Sabrías continuarla?.Al construir rectángulos cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo y puedes dibujar la espiral de Durero.</div>
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Fuente: <a href="http://revistasacitametam.blogspot.com/2011/05/sobre-espirales.html">http://revistasacitametam.blogspot.com/2011/05/sobre-espirales.html</a><span class="Apple-style-span" style="background-color: #e0e0e0; color: #333333; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px;"><div>
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</span>ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-67064816414750650722011-09-20T09:29:00.000-07:002011-09-20T09:29:55.921-07:00La magia del 6.174. La constante y el número de Kaprekar<span class="Apple-style-span" style="background-color: #e0e0e0; color: #333333; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px;">Leyendo este verano <em>El club McLaurin</em> de <strong>Félix Remirez Salinas</strong>, un relato matemático, finalista</span><span class="Apple-style-span" style="background-color: #e0e0e0; color: #333333; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px;"></span><br />
<div class="post-body entry-content" id="post-body-8360492648923671494">
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg80ayaBJVUpvFAVM906gnkeJ8p-qIybQqBRa_SlTtx3xjUF3hcVvMT_4vkX-fT4WJury2QBYxCYXzwcQY3BHtPnydxq4gcLlPMlfCdqlPbCcwPZBk0GwJIMm9KwJuAvdhcUCNG5btB7Z19/s1600/D_R_Kaprekar.jpg" style="color: #0066cc;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5651872090412553522" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg80ayaBJVUpvFAVM906gnkeJ8p-qIybQqBRa_SlTtx3xjUF3hcVvMT_4vkX-fT4WJury2QBYxCYXzwcQY3BHtPnydxq4gcLlPMlfCdqlPbCcwPZBk0GwJIMm9KwJuAvdhcUCNG5btB7Z19/s400/D_R_Kaprekar.jpg" style="border-bottom-color: rgb(192, 192, 192); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(192, 192, 192); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; float: left; height: 138px; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; padding-bottom: 6px; padding-left: 6px; padding-right: 6px; padding-top: 6px; width: 117px;" /></a> del concurso literario <strong>“Relatos Cortos RSME-ANAYA 2009”</strong> que está publicado en el libro<em> La conjetura de Borges (2011),</em> recopilación de relatos matemáticos finalistas de dicho concurso aparece el número <span style="color: #ff6600;"><strong>6.174</strong></span> como la<span style="color: #ff6600;"><strong>constante de Kaprekar</strong></span>.<br /><div>
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Este número, que se llama así por el matemático indio <strong>Shri Dattatreya Ramachandra Kaprekar</strong>, (1905–1986) que la descubrió en 1949 , tiene una interesante y casi mágica propiedad a saber:<br /><div>
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<strong><span style="color: #ff6600;">1.-</span></strong> Tomamos un número de cuatro dígitos distintos. ( también sale si hay 2 ó 3 cifras repetidas, sólo con los cuatro repetidos no sale)</div>
<strong><span style="color: #ff6600;">2.-</span></strong> Se ordenan de mayor a menor esos dígitos y obtenemos el mayor número que se obtiene de esos dígitos<strong><span style="color: #ff6600;"><br />3.-</span></strong> Ordenamos de menor a mayor obteniendo el menor número posible que se puede formar con esos dígitos.<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGMOnINrZnHeJDKwdLjmXaWAXLLLW6idECCmI2dL5ql2hQIYys2am2RFmIP8PdwQG1DIMHN8oXsTJsIMjMPnO-5K6q8aRHyLm7a025Ivu86ZZ7bkvDT8ESpH33XIuVVn8cPDBLvgbxJy6n/s1600/conjetura+de+borges.jpg" style="color: #0066cc;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5651872146707874434" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGMOnINrZnHeJDKwdLjmXaWAXLLLW6idECCmI2dL5ql2hQIYys2am2RFmIP8PdwQG1DIMHN8oXsTJsIMjMPnO-5K6q8aRHyLm7a025Ivu86ZZ7bkvDT8ESpH33XIuVVn8cPDBLvgbxJy6n/s400/conjetura+de+borges.jpg" style="border-bottom-color: rgb(192, 192, 192); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(192, 192, 192); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; float: right; height: 191px; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 6px; padding-left: 6px; padding-right: 6px; padding-top: 6px; width: 129px;" /></a><strong><span style="color: #ff6600;"><br />4.-</span></strong> Los restamos <strong><span style="color: #ff6600;"><br />5.-</span></strong> Si el resto no da 6.174 volvemos a repetir los pasos anteriores, hallamos el mayor y menor número que se pueden formar con esos dígitos y restamos.<strong><span style="color: #ff6600;"><br />6.-</span></strong> y así sucesivamente entonces SIEMPRE se llaga al <strong><span style="color: #ff6600;">6.174.</span></strong><br /><br />Ejemplo:<br />1.- Sea el 6.354<br />2.- Se forman el 6.543 y el 3.456 que restamos y da 3.0873.<br /><div>
3.- Con 3.087 se forma 8.730 y 0.378 que restados da 8.3524</div>
4.- Con 8.352 se forma 8.532 y 2.358 y restados da 6.174<br /><br />Esto ocurre con cualquier número de 4 cifras y en un máximo de 7 pasos se llega al número 6.174. Curioso, ¿verdad?.<br /><br /><div>
Si para los números de 4 cifras existe una constante de Kaprekar,<strong>¿Existirá para los de tres, y de cinco…?</strong></div>
<br />Para los de tres <span style="font-weight: bold;">sí existe es el 495</span>. Para los de 5 no existe.<br /><br /><div>
Hasta el momento, ningún matemático tiene claro por qué sucede todo esto y por qué con tres y cuatro dígitos se llega a un único número, mientras que con otro número de dígitos no se llega a ninguno sino a ciclos,( con 5 cifras y 7) o por qué para complicar la cosa a veces se llega a varios números posibles ( con 8 y 9 cifras) y también a varios números y ciclos( para 6 cifras y 10) . ¿Habrá algún número con más dígitos que converja en un solo número parecido al 6174? No se sabe. Es uno de los muchos misterios de la Teoría de Números, y bien podría ser simplemente algo puramente circunstancial: una gran coincidencia.<img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5651872386388895106" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwvPvooZ41xrOmfMI9O3OuIWYeBUcYQoCgXB1zu9FHA1RS_exfuwqS_TSJ8hHxcVbAFZC8tReADtkyDEcT-sUJ7RD-qgW71a31cYObROUxBYyujyfGCPnjHxHS4MbIccG7KRFV3gE62J2B/s400/6174-numero-number-kaprekar.jpg" style="border-bottom-color: rgb(192, 192, 192); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-color: initial; border-left-color: rgb(221, 221, 221); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(192, 192, 192); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; border-width: initial; display: block; height: 71px; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 6px; padding-left: 6px; padding-right: 6px; padding-top: 6px; text-align: center; width: 205px;" />El nombre de Kaprekar además de estar asociado a su constante está asociado a los <strong>números de Kaprekar.<br /><br />Un número de Kaprekar</strong> es aquel entero no negativo tal que, en una base dada, los dígitos de su cuadrado en esa base pueden ser separados en dos números que sumados dan el número original.</div>
<br />Ejemplos de números de Kaprekar<br /><br /><span style="font-weight: bold;">Ejemplo1:</span> El <strong><span style="color: #006600;">9,</span></strong> pues, 9 al cuadrado es 81 que se descompone en 1 + 8 = 9<span style="font-weight: bold;"><br />Ejemplo2</span>: El <span style="color: #006600;"><strong>297 </strong></span>su cuadrado es 88209 y vemos que 88 + 209 = 297<br /><span style="font-weight: bold;">Ejemplo3:</span> El <span style="color: #006600;"><strong>703</strong></span> pues 703 al cuadrado es 494209 que se descompone en 494 + 209 = 703<br /><br />En base 10 los primeros<span style="font-weight: bold;"> números Kaprekar</span> son : <strong><span style="color: #ff6600;">1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, …</span></strong><br />En base 2 todos los <strong>números perfectos</strong> son números de Kaprekar.<br />En cualquier base existen infinitos números de Kaprekar, en particular, dada una base b, todos los números que resultan de restar la unidad a b elevado a n , con n un número entero son<strong>números de Kaprekar. </strong><br />Así en base 10 :<br />100 -1 = 99, también 1000-1 = 999; también 1000 -1=9.999;..</div>
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<span class="Apple-style-span" style="background-color: #e0e0e0; color: #333333; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px;">Fuente: <a href="http://revistasacitametam.blogspot.com/">http://revistasacitametam.blogspot.com/</a></span><span class="Apple-style-span" style="background-color: #e0e0e0; color: #333333; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px;"><div class="post-body entry-content">
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</span>ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-38412906631547104282011-09-13T21:24:00.000-07:002011-09-13T21:43:51.482-07:00Los números en el tiempo<p:colorscheme colors="#fefde3,#000000,#cbbd83,#221304,#a1bd69,#3694b6,#660066,#666699"><u>
</u></p:colorscheme><br />
<div class="O" v:shape="_x0000_s1026">
<u><span lang="ES-TRAD" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 32pt;"><b><span class="Apple-style-span" style="color: red;">Antiguos sistemas de numeración</span></b></span></u></div>
<div class="O" v:shape="_x0000_s1026">
<u><span lang="ES-TRAD" style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 32pt;"><br /></span></u></div>
<u></u><br />
<div class="O" style="display: inline !important;" v:shape="_x0000_s1026">
<u><span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 12pt;"></span></u></div>
<u>
</u><u><div class="O" style="display: inline !important;" v:shape="_x0000_s1026">
<span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 12pt;"></span></div>
</u><div class="O" v:shape="_x0000_s1026">
<div style="text-decoration: underline;">
<span lang="ES-TRAD" style="color: #221304; font-family: 'Times New Roman'; font-size: x-large;"><p:colorscheme colors="#fefde3,#000000,#cbbd83,#221304,#a1bd69,#3694b6,#660066,#666699">
</p:colorscheme></span></div>
<div class="O" v:shape="_x0000_s1026">
<span class="Apple-style-span" style="color: #221304; font-size: x-large;"><span class="Apple-style-span" style="-webkit-text-decorations-in-effect: none; color: black;"><a href="" name="INTRO"><est!ndar></est!ndar></a></span></span><br />
<h3 style="background-color: #88a0a8; font-size: medium; text-decoration: underline;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #221304; font-size: x-large;"><a href="" name="INTRO"><u>Introducción. El Concepto de Base</u></a></span></h3>
<span class="Apple-style-span" style="color: #221304; font-size: x-large;"><a href="" name="INTRO"><est!ndar><est!ndar><u style="background-color: #88a0a8; font-size: medium;"> </u><span class="Apple-style-span" style="background-color: white;">Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guigarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico. <est!ndar><br /> En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente. <est!ndar><br /> La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son las numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad. <est!ndar><br /> Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo. <est!ndar><br /> Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de simbolos que los hace poco prácticos. <est!ndar><br /> Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un metodo diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. <est!ndar><br /> El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez simbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones. <est!ndar><br /> <est!ndar><est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></span></est!ndar></est!ndar></a><span class="Apple-style-span" style="background-color: white;"><a href="" name="SNA"><br /><h3>
Sistemas de Numeracion Aditivos</h3>
<est!ndar><est!ndar> Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema geroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un geroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 geroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están fisicamente presentes. <est!ndar><br /> Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los simbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición. <est!ndar><br /> Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judios y árabes.<br /><est!ndar><est!ndar><br /><est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></a><a href="" name="E"><h3>
El Sistema de Numeración Egipcio</h3>
<est!ndar><est!ndar> Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema deescribir los números en base diez utilizando los geroglíficos de la figura para representar los distintos ordenes de unidades.<br /><est!ndar><est!ndar><img align="middle" border="2" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/E1.JPG" /><br /><est!ndar><est!ndar>Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podian escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.<est!ndar><est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><table><tbody>
<tr valign="top"><td><img align="top" border="2" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/E2.JPG" /></td><td>Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los geroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela en Karnak. <est!ndar><br /> Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitian mayor rapidez y comodidad a los escribas<est!ndar></est!ndar></est!ndar></td></tr>
</tbody></table>
<est!ndar><est!ndar> En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y asi se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.<br /><est!ndar><est!ndar> </est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></a><a href="" name="G"><h3>
El Sistema de Numeración Griego</h3>
<est!ndar> El primer sitema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas. <est!ndar><br /><est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><table><tbody>
<tr valign="top"><td><img align="middle" border="3" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/G1.JPG" /></td><td>Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.</td></tr>
</tbody></table>
<est!ndar><est!ndar> Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente<est!ndar><est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><table><tbody>
<tr valign="top"><td><img align="middle" border="3" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/G2.JPG" /></td><td> De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.</td></tr>
</tbody></table>
<est!ndar><est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></a><a href="" name="SNH"><br /><h3>
Sistemas de Numeracion Híbridos</h3>
<est!ndar><est!ndar> En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinacion del 7 y el 100 seguida del 3. <est!ndar><br /> El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan así los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el 307 con 370, 3070 ... <est!ndar><br /> Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del subcontinente indio cómo el tamil, el malayalam y el cingalés.<br /><est!ndar><est!ndar> </est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></a><a href="" name="CH"><h3>
El Sistema de Numeración Chino</h3>
<est!ndar><est!ndar> La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura <est!ndar><br /><est!ndar><center><br /><img align="middle" border="3" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/CH1.JPG" /></center><est!ndar><est!ndar><br />y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental,ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75. <est!ndar><br /><est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><table><tbody>
<tr valign="top"><td><img align="middle" border="3" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/CH2.JPG" /></td><td> Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se</td></tr>
</tbody></table>
<est!ndar><est!ndar>suprimían los correspondientes a las potencias de 10. <est!ndar><br /> Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documento importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.<br /><est!ndar><est!ndar><est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></a><a href="" name="SNP"><br /><est!ndar><h3>
Sistemas de Numeración Posicionales</h3>
<est!ndar><est!ndar><br /> Mucho más efectivos que los sitemas anteriores son los posicionales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas ... o en general la potencia de la base correspondiente. <est!ndar><br /> Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la intraducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de simbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio nigún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales. <est!ndar><br /> Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin mas que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India desde el sss. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cáculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos dificilmente la ciencia hubiese podido avanzar. <est!ndar><est!ndar><br /></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></a><a href="" name="B"><h3>
El Sistema de Numeración Babilónico</h3>
<est!ndar><est!ndar> Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el ssss A.C. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores.<est!ndar><est!ndar><est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar><est!ndar></est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><table><tbody>
<tr valign="middle"><td> Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.</td><td><img align="middle" border="3" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/B1.JPG" /></td></tr>
</tbody></table>
<est!ndar><br /> De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.<br /><est!ndar><est!ndar><br /><img align="middle" border="3" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/B2.JPG" /><br /><est!ndar><est!ndar><br /> A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y asi sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan. <est!ndar><est!ndar><br /><est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><est!ndar></est!ndar><table><tbody>
<tr align="middle"><td><img border="3" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/B3.JPG" /></td><td><img border="3" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/B4.JPG" /></td></tr>
</tbody></table>
<est!ndar><est!ndar><br /><br /><est!ndar><est!ndar><center><img align="middle" border="3" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/B5.JPG" /></center><est!ndar><est!ndar><br /></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></a></span><a href="" name="M"><h3>
<span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-size: x-large;">El Sistema de Numeración Maya</span></h3>
<est!ndar><est!ndar><span class="Apple-style-span" style="background-color: white;"> Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que seañadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas. </span><est!ndar><center><est!ndar style="background-color: white;"><br /><img align="middle" border="3" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/M1.JPG" /></est!ndar></center><span class="Apple-style-span" style="background-color: white;"><br /></span><est!ndar><est!ndar><span class="Apple-style-span" style="background-color: white;"> Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cífras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor. </span><est!ndar><est!ndar><center><span class="Apple-style-span" style="background-color: white;"><br /><img align="middle" border="3" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/M2.JPG" /></span></center><est!ndar><est!ndar><span class="Apple-style-span" style="background-color: white;"><br /> Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. </span><est!ndar><span class="Apple-style-span" style="background-color: white;"><br /> Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los número correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.</span><est!ndar><est!ndar><center><est!ndar style="background-color: white;"><br /><img align="middle" border="3" src="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/M3.JPG" /></est!ndar></center><est!ndar><est!ndar><span class="Apple-style-span" style="background-color: white;"><br /> El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carater religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días. </span><est!ndar><span class="Apple-style-span" style="background-color: white;"><br /> Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimiento astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario. </span><est!ndar><span class="Apple-style-span" style="background-color: white;"><br /></span><est!ndar><hr />
fuente: </est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></est!ndar></a></span><a href="http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html">http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html</a></div>
<span lang="ES-TRAD" style="font-family: 'Times New Roman';"><div class="O" v:shape="_x0000_s1026">
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<span lang="ES-TRAD" style="font-family: 'Times New Roman';"><span lang="ES-TRAD" style="color: #221304; font-family: 'Times New Roman';"><p:colorscheme colors="#fefde3,#000000,#cbbd83,#221304,#a1bd69,#3694b6,#660066,#666699"></p:colorscheme></span></span><br />
<div class="O" v:shape="_x0000_s1026">
<span lang="ES-TRAD" style="font-family: 'Times New Roman';"><span lang="ES-TRAD" style="color: #221304; font-family: 'Times New Roman';">
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<span class="Apple-style-span" style="color: #221304;">
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<span lang="ES-TRAD" style="color: #221304; font-family: 'Times New Roman'; font-size: 44pt;"><span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 12pt;"></span></span></div>
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<span lang="ES-TRAD" style="color: #221304; font-family: 'Times New Roman'; font-size: 44pt;"><span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 12pt;"><span style="font-family: 'Times New Roman'; font-size: 12pt;"></span></span></span></div>
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ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-41148139556901989402011-09-10T17:16:00.000-07:002011-09-10T17:16:47.860-07:00Futurama y las Matemáticas<span class="Apple-style-span" style="color: #282828; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px;"></span><br />
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
<br /></div>
<ul style="list-style-type: square; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 5px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>La descongelación de Fry</strong><br />En el primer episodio de la serie <em>Piloto Espacial 3000</em>, Fry se congela <strong>el 1 de Enero de 2000 a las 0:00 AM</strong>. A partir de entonces, empezó una cuenta atrás de 1000 años para la descongelación, contando que según <strong>el calendario Gregoriano cada año tiene 365′2425 días</strong>, Fry debería despertarse <strong>el 31 de Diciembre de 2999 a las 12 del mediodía</strong>. Si recordamos el capítulo, sabremos que esto es cierto, aunque la hora en ningún momento se menciona parece ser correcta.</li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>¿Qué día es hoy?</strong><br />El mismo día en el que despierta Fry, Bender menciona que los Martes la entrada al museo es gratis. Si realizamos los cálculos o miramos un calendario del 2999, veremos que el 31 de Diciembre cae en Martes. <em>Estos guionistas no dejan nada al azar, ¿eh?</em></li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>Marcado por el dólar</strong><br />En el episodio <em>Yo, Compañero de Piso</em>, el número de apartamento de Bender es el <strong>00100100</strong>, que además de capicua en binario es el número 36 y si vemos la tabla <strong>ASCII es el caracter del dólar $</strong>, además el bloque de apartamentos contiene solo 256 apartamentos, igual que caracteres en la tabla ASCII.<br /><img alt="Apartamento Bender" height="216" src="http://farm3.static.flickr.com/2175/2208661108_cd4f3d7f4e_o_d.jpg" style="border-bottom-color: transparent; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: transparent; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;" width="288" /></li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>Un número aburrido</strong><br />En el episodio <em>Cuento de Navidad</em>, Bender es el hijo <strong>#1729</strong>. Además, <strong>la nave Nimbus tiene también el 1729 grabado en su carrocería</strong> y también <strong>existe el “Universo 1729″</strong> de la paracaja de Farnsworth. El <strong>1729 es el llamado <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Hardy-Ramanujan" style="color: #326ea1; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; text-decoration: none;">número de Hardy-Ramanujan</a></strong>, llamado así por la siguiente anécdota:<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
</div>
<blockquote style="border-left-color: rgb(50, 110, 161); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; color: #555555; font-size: 1em; margin-bottom: 0px; margin-left: 30px; margin-right: 30px; margin-top: 0px; padding-left: 10px; padding-right: 10px;">
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Una vez, en un taxi de Londres, a Hardy le llamó la atención su número, 1729. Debió de estar pensando en ello porque entró en la habitación del hospital en donde estaba Ramanujan tumbado en la cama y, con un hola seco, expresó su desilusión acerca de este número. Era, según él, un número aburrido, agregando que esperaba que no fuese un mal presagio. No, Hardy, dijo Ramanujan, es un número muy interesante. Es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes.</div>
</blockquote>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
<strong>A los números que cumplen dicha propiedad se les conoce como los números Taxicab</strong>, es decir, el número natural que puede ser expresado como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes. </div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
<span class="Apple-style-span" style="line-height: normal;"></span></div>
<ul style="list-style-type: square; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 5px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>Intereses millonarios</strong><br />En el episodio <em>Unos Valiosos Pececitos</em>, Fry acude al banco a sacar dinero de su antigua cuenta (recordemos que durmió congelado durante 1.000 años), así que cuando le dicen <strong>el saldo acumulado durante esos 1.000 años</strong>, con sus respectivos intereses (2′25% al año) <strong>suma 4.300 millones de dolares</strong>, convirtiendose en multimillonario y comprándose unas valiosas anchoas. Lo curioso de todo es que el cálculo de dicho dinero es bastante correcto, ya que sabiendo el saldo inicial que tenía (93 centavos) y sus intereses (2′25% al año), realizando el siguiente cálculo <strong>0′93 * (1′0225) <sup>1000</sup> obtenemos 4283508449 dólares y 71 centavos.</strong></li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>Edificios geométricos</strong><br />En el episodio <em>El Infierno Está en los Demás Robots</em> aparecen dos edificios con formas geométricas bastante peculiares: <strong>el Madison Cube Garden y el Hotel “Trump Trapezoid”</strong>, con forma de cubo y de trapezoide respectivamente. El primero vuelve a aparecer en muchos otros episodios.</li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>Matemáticas de los cánticos de un cretino</strong><br />En la asignatura que imparte H. Farnsworth en la Universidad de Marte <strong>(Matemáticas de los campos cuánticos del neutrino)</strong> aparece en la pizarra un diagrama que, según los comentarios del DVD (episodio <em>La Universidad de Marte</em>) es un dibujo de David Schiminovich, físico de Cal-Tech, parodiando un diagrama real de física de partículas, construído para que recordara a un perro haciendo sus necesidades (que parodia al gato de Schrödinger).<br />La conclusión a la que llega Farnsworth es que el electrón debe de oler a mosto.<br />El diagrama original es de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Edward_Witten" style="color: #326ea1; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; text-decoration: none;">Edward Witten</a>, un importante físico-matemático que actualmente ejerce de profesor de Física en el Institute for Advanced Study en Princeton, New Jersey (USA). Sus trabajos principales tratan temas de supercuerdas y supersimetría. Precisamente, el perro de este diagrama está formado por supercuerdas que representan trayectorias de partículas elementales.<br /><img alt="Cálculos del Doctor" height="216" src="http://farm3.static.flickr.com/2401/2207866507_1158117da7_o_d.jpg" style="border-bottom-color: transparent; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: transparent; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;" width="288" /></li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>Números de serie relacionados</strong><br />En el episodio <em>El Menor de Dos Malos</em>, los números de serie de Bender y Flexo, pueden descomponerse como la suma de dos cubos:<br /><strong>Flexo: 3370318 = 119<sup>3</sup> + 119<sup>3</sup><br />Bender: 2716057 = 952<sup>3</sup> + (-951)<sup>3</sup></strong><br />Además, esta descomposición es única.<br /><em>(Nota: En la versión española, el número de serie de Bender es el 271605 (se han olvidado el último 7!!!) y no se puede descomponer como suma de dos cubos)</em></li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>La gasolinera más cercana</strong><br />En el episodio <em>Pon la Cabeza Sobre mis Hombros</em>, en el que Amy y Fry se van a Mercurio a pasear con el coche, se quedan sin gasolina en un lugar el cual (según un cartel de información) está a 4750 millas en cualquier dirección. Esto quiere decir que esta gasolinera se encuentra exactamente en el punto opuesto (antípodas) del planeta, ya que 4750 millas son más o menos 7645 kilómetros, que es lo que mide medio ecuador de Mercurio.<br />Además, la gasolinera se llama Hg’s Fuel, siendo Hg el símbolo químico del Mercurio.</li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>La pregunta del millón</strong><br />En el mismo episodio que el comentado en el punto anterior, aparecen dos libros con los títulos <strong>NP</strong> y<strong>P</strong>, presumiblemente estos dos libros son una colección de problemas de clase P y de clase NP, respectivamente.<br /><img alt="NP vs. P" height="216" src="http://farm3.static.flickr.com/2079/2207866675_10eecc8881_o_d.jpg" style="border-bottom-color: transparent; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: transparent; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;" width="288" /></li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>Discreto y discreto</strong><br />En el mismo episodio que los dos puntos anteriores, en el despacho de Bender aparecen las palabras<em>discreet</em> y <em>discrete</em>. Ambas se traducen como <em>discreto</em>, pero cada una tiene su propio significado y contexto. La primera significa <em>cuidadoso o juicioso en aquello que se dice o hace</em>. La segunda se usa normalmente en el ámbito matemático y se define como <em>separado; discontinuo</em>.<br />Las <strong>Matemáticas Discretas</strong> estudian las propiedades matemáticas de conjuntos y sistemas que tienen un número finito de elementos o bien un número infinito numerable de elementos que estén separados entre sí.</li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>El infinito más pequeño</strong><br />El cine del episodio <em>Bender Salvaje</em> se llama <strong>Loew’s ℵ0-Plex</strong> (aparece en más episodios). ℵ0 <strong>(leído “Alef sub-cero”)</strong> es un símbolo que se usa para denotar el cardinal (es decir, el número de elementos) del conjunto de los números naturales {0, 1, 2, 3, …}. Es, por lo tanto, un infinito numerable.<br />ℵ1 es el cardinal de las partes de los naturales, es decir, del conjunto formado por todos los posibles conjuntos de naturales. Por lo tanto, ℵ1 = 2^ℵ0. Además, ℵ1 es el cardinal de los números reales, que es un infinito no numerable. La Hipótesis del Contínuo afirma que entre ℵ0 y ℵ1 no hay otro tipo de infinito.<br />En general, ℵn es el cardinal de las partes de las partes de las partes… (n veces) de los naturales. De forma recursiva: ℵn = 2^ℵ<sub>n-1</sub>. Esto, unido a que el sufijo “-Plex” en el nombre de un cine es indicador del número de salas (por ejemplo, un cine 12-Plex es un cine con 12 salas) <strong>nos indica que el cine Loew tiene un número infinito (pero numerable) de salas. </strong></li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong><span class="Apple-style-span" style="font-weight: normal;"><ul style="display: inline !important; list-style-type: square; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 5px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
<li style="display: inline !important; margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>Número Astronómico </strong></li>
</ul>
</span></strong><strong><ul style="display: inline !important; list-style-type: square; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 5px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
<li style="display: inline !important; margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-weight: normal;">En el episodio </span><em>Mi problema con los Poppler</em><span class="Apple-style-span" style="font-weight: normal;">, en la publicidad de los Popplers de Fishy Joe’s se lleva la cuenta del número de Popplers servidos, y en este caso </span><strong>es de 3′8 x 10<sup>10</sup></strong><span class="Apple-style-span" style="font-weight: normal;">. Coincidencia o no, </span><strong>ésta es la distancia media entre la Tierra y la Luna, medida en centímetros.</strong><span class="Apple-style-span" style="font-weight: normal;"> Esto quiere decir que si un Poppler midiese 1 cm. (que mide más…) y los pusiéramos a todos en fila, llegarían hasta la Luna. La cifra final de Popplers servidos (mencionada por Kif) es de 198 billones americanos, es decir 1′98 x 10</span><sup>11</sup><span class="Apple-style-span" style="font-weight: normal;"> (teniendo en cuenta que 1 billón americano = mil millones europeos), más de cinco veces la anterior.</span></li>
</ul>
</strong></li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><ul style="list-style-type: square; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 5px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-weight: normal;">Además, la distancia media de la Tierra a la Luna crece cada año en 3′8 cm. (esto sí que es coincidencia).</span></li>
<li style="font-weight: normal; margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>La Bestia Binaria</strong><br />En el episodio <em>El Bocinazo</em>, aparece la cifra binaria <strong>1010011010</strong> reflejada en un espejo, esta cifra es 666 en decimal. Y en el cómic <em>The Bender You Say</em> aparece de nuevo el número 666 en binario, en la matrícula del coche del Diablo Robot, esta vez de la forma 0110-0110-0110, que en decimal es 6-6-6.<br /><img alt="El diablo acecha en binario" height="216" src="http://farm3.static.flickr.com/2253/2208661400_dae0893823_o_d.jpg" style="border-bottom-color: transparent; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: transparent; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;" width="288" /></li>
<li style="font-weight: normal; margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>Ganador… por una entrada cuántica</strong><br />En el episodio <em>La Suerte del Frylandés</em>, en la carrera de caballos del episodio tiene un final tan apretado que el ganador sólo le saca unas cuantas partículas cuánticas de ventaja al segundo clasificado. Entonces el profesor Farnsworth protesta alegando que se ha modificado el resultado sólo por el hecho de medirlo.<br />No le falta razón, ya que el <strong><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_incertidumbre" style="color: #326ea1; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; text-decoration: none;">Principio de Incertidumbre de Heisenberg</a></strong> (enunciado en 1927) nos dice que la precisión con la que podemos medir la posición de una partícula en un instante dado es inversamente proporcional a la precisión con la que podemos medir la velocidad de esa partícula en ese mismo instante. Así que si los jueces de la carrera han medido también la velocidad de los caballos en la llegada, han podido alterar la medida de la posición.</li>
<li style="font-weight: normal; margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>Cerveza que desorienta</strong><br />En el episodio <em>La Ruta de Todo Mal</em>, el envase de <strong>la cerveza de Klein</strong> es la versión en ℜ3 de la curiosa “botella de Klein”, una superficie no orientable en ℜ4. Esta versión tridimensional en realidad no es una superficie “suave” debido a que se corta a sí misma; en cambio, la verdadera botella de Klein cuadridimensional no se corta a sí misma y por lo tanto sí que es “suave”.<br />Otras marcas de cerveza que aparecen son <strong>Olde Fortran y St. Pauli’s Exclusion Principle Girl</strong>. La primera hace referencia al lenguaje de programación Fortran 77 (que significa “Formula Translation”, diseñado en 1977) y que era utilizado en gran parte por matemáticos, aunque ya está anticuado (por eso lo de “Olde”). La segunda es una parodia de la existente marca de cerveza “St. Pauli” (lo de “Girl” es porque esta marca de cerveza organiza un concurso anual para elegir a la “Chica St. Pauli”) y un juego de palabras con el <strong>Principio de Exclusión de Pauli</strong>, un conocido principio de Física Cuántica enunciado por Wolfgang Pauli, ganador del Premio Nobel de Física en 1945: dos partículas distintas no pueden ocupar simultáneamente la misma posición cuántica.</li>
<ul style="list-style-type: square; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 5px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>Quejido binario</strong><br />En el episodio <em>Menos Que Un Hérore</em>, Fry, Leela y Bender se pelean contra el Guardián del Zoo y sus secuaces animales. En dicha pelea Bender dice <strong>01001010!!!</strong> al estilo <a href="http://www.imdb.com/title/tt0060153/" style="color: #326ea1; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; text-decoration: none;">Batman (la serie antigua)</a>cuando recibe un puñetazo de un canguro boxeador. Este número binario se corresponde con el número decimal 74, cuyo código ASCII es la letra “J”, y que en inglés se pronuncia como la onomatopeya de quejido “yay!”.</li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>Números irracionales</strong><br />En Futurama aparecen muchos números irracionales, entre ellos podemos destacar:<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px;">
</div>
<ul style="list-style-type: square; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 5px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">El canal de noticias <strong>raíz cuadrada de dos</strong>.</li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">La <strong>histórica raíz cuadrada de 66</strong>. <em>Como aclaración “Rout” (”ruta” en inglés) se pronuncia muy parecido a “Root” (”raíz” en inglés).</em></li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">La <strong>PIth Avenue, una lata de aceite PI en uno.</strong></li>
</ul>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px;">
<img alt="PIth Avenue" height="216" src="http://farm3.static.flickr.com/2031/2208661208_46cb92264d_o_d.jpg" style="border-bottom-color: transparent; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: transparent; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;" width="288" /></div>
</li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">Y para que sepáis que todas estas cosas no son casualidad, os voy a poner la plantilla de guionistas que tiene Futurama:<ul style="list-style-type: square; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 5px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>J. Stewart Burns</strong>: Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Harvard y Máster en Matemáticas por U.C. Berkeley. Productor y Guionista de Futurama.</li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>David X. Cohen</strong>: Licenciado en Física por la Universidad de Harvard y Máster en Ciencias Computacionales por U.C. Berkeley. Productor Ejecutivo y Guionista de Futurama.</li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>Ken Keeler</strong>: Doctor en Matemática Aplicada por la Universidad de Harvard y Máster en Ingeniería Electrónica. Productor Ejecutivo y Guionista de Futurama.</li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>Bill Odenkirk</strong>: Doctor en Química Inorgánica por la Universidad de Princeton. Guionista de Futurama.</li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><strong>Jeff Westbrook</strong>: Doctor en Ciencias Computacionales por la Universidad de Princeton. Guionista de Futurama.</li>
</ul>
</li>
</ul>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Todos los posts de Futurama y las matemáticas han sido extraídos (casi literalmente) de <span class="Apple-style-span" style="line-height: normal;"><a href="http://gaussianos.com/futurama-y-las-matematicas-iv/">http://gaussianos.com/futurama-y-las-matematicas-iv/</a></span></div>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
</ul>
ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-71126614629124456402011-09-10T17:07:00.000-07:002011-09-10T17:07:40.925-07:00Los puentes de Königsberg: el comienzo de la teoría de grafos<br />
<span class="Apple-style-span" style="color: #282828; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px;"></span><br />
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Finalizamos esta semana con una entrada dedicada a un problema clásico pero no por ello falto de interés: <strong>los puentes de Konigsberg</strong>. Clásico porque es un problema muy conocido y estudiado; interesante porque está considerado como el comienzo de la topología, y, en particular, de la teoría de grafos.</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
El artículo consta de cuatro partes: descripción del problema y encuadre histórico del mismo, iniciación a la teoría de grafos, resolución del problema y aplicación a la resolución del problema del sobre y similares.</div>
<h3 style="color: #555656; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 5px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Los puentes de Königsberg</h3>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Königsberg (actualmente Kaliningrado, Rusia) era una ciudad de Prusia del siglo XVIII. El problema que nos ocupa tiene como protagonista a un río, el río Pregel, que cruzaba la ciudad, a dos islas que se encontraban en el mismo y a siete puentes que comunicaban las dos partes de la ciudad con las mismas. Concretamente la situación era como se describe en la imagen (<img alt="A" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=A&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="A" /> y <img alt="B" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=B&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="B" /> son las dos partes de la ciudad y <img alt="C" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=C&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="C" /> y <img alt="D" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=D&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="D" /> las dos islas):</div>
<div align="center" style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
<img alt="Königsberg y sus puentes" src="http://farm3.static.flickr.com/2008/2460933570_2c372c4beb_o_d.jpg" style="border-bottom-color: transparent; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: transparent; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;" /></div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
</div>
<br />
<center>(Imagen tomada de <a href="http://www.historiasdelaciencia.com/?p=86" style="color: #326ea1; outline-color: initial; outline-style: none; outline-width: initial; text-decoration: none;">Historias de la Ciencia</a>)</center><br />
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
El problema consistía en comenzar en un punto, pasar por los siete puentes sin repetir ninguno y volver al punto de partida. Antes de seguir leyendo podéis intentarlo vosotros mismos, aunque os recomiendo que no le dediquéis demasiado tiempo.</div>
<h3 style="color: #555656; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 5px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Iniciación a la teoría de grafos</h3>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Un <strong>grafo</strong> es básicamente un conjunto no vacío (al menos contiene un elemento) de puntos llamados<strong>vértices</strong> y un conjunto de líneas llamadas <strong>aristas</strong> cada una de las cuales une dos vértices. Se llama <strong>lazo</strong>a una arista que une un vértice consigo mismo. Se dice que dos vértices son <strong>adyacentes</strong> si existe una arista que los une.</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Se dice que un grafo es <strong>simple</strong> si para cualesquiera dos vértices existe a lo sumo una arista que los une. En otro caso se denomina <strong>multigrafo</strong>.</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Si <img alt="v" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=v&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="v" /> es un vértice de un grafo, se denomina <strong>grado de <img alt="v" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=v&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="v" /></strong> al número de aristas que inciden en el mismo (por convenio de considera que un lazo cuenta dos veces al determinar el grado de su vértice).</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Se dice que un grafo es <strong>conexo</strong> si no puede expresarse como la unión de dos grafos de vértices disjuntos. Os dejo un ejemplo:</div>
<div align="center" style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
<img alt="Grafo conexo y grafo no conexo" src="http://farm3.static.flickr.com/2277/2460933420_927580f6c5_o_d.jpg" style="border-bottom-color: transparent; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: transparent; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;" /></div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Un <strong>camino de longitud n</strong> es una sucesión de vértices, <img alt="v_i" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=v_i&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="v_i" />, y aristas, <img alt="a_j" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=a_j&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="a_j" />, de la siguiente forma: <img alt="v_0,a_1,v_1, \ldots ,v_{n-1},a_n,v_n" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=v_0%2Ca_1%2Cv_1%2C%20%5Cldots%20%2Cv_%7Bn-1%7D%2Ca_n%2Cv_n&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="v_0,a_1,v_1, \ldots ,v_{n-1},a_n,v_n" />. Se dice que un camino es <strong>cerrado</strong> si <img alt="v_n=v_0" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=v_n%3Dv_0&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="v_n=v_0" />, es decir, el vértice inicial y el final son el mismo. Se dice que es <strong>simple</strong> si todas sus aristas son distintas. Se llama <strong>trayectoria</strong> a un camino simple en el que todos sus vértices (salvo probablemente el inicial y el final) son distintos y se denomina <strong>circuito</strong> a una trayectoria cerrada con al menos una arista.</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Se llama <strong>camino euleriano</strong> a un camino simple que contiene todas las aristas del grafo y se denomina<strong>circuito euleriano</strong> a un camino euleriano cerrado. Se dice que un grafo es <strong>euleriano</strong> si contiene un circuito euleriano.</div>
<h3 style="color: #555656; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 5px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
Resolución del problema</h3>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Para empezar, ¿quién resolvió el problema? Pues como ya sabéis los que conocíais el problema y como habréis intuido los que no lo conocíais fue <strong>Leonhard Euler</strong> quien dio solución a este asunto. La idea genial de Euler fue representar la ciudad de Königsberg como un grafo en el que las cuatro partes de la misma eran los vértices y los siete puentes eran las aristas:</div>
<div align="center" style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
<img alt="Königsberg representada por un grafo" src="http://farm3.static.flickr.com/2018/2460933970_8cc0094e51_o_d.jpg" style="border-bottom-color: transparent; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: transparent; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;" /></div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Por tanto el problema de los puentes de Königsberg pasa a ser un problema de teoría de grafos cuya solución publicó Euler en su artículo <em>Solución de un problema relativo a la geometría de posición</em>.</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Según las definiciones que hemos visto en el punto anterior lo que queremos saber es si este grafo en euleriano, es decir, si contiene un circuito euleriano (es decir, un camino que contiene a todas las aristas del grafo sin que ninguna se repita y que comienza y termina en el mismo vértice). Vamos a demostrar el siguiente resultado:</div>
<blockquote style="border-left-color: rgb(50, 110, 161); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; color: #555555; font-size: 1em; margin-bottom: 0px; margin-left: 30px; margin-right: 30px; margin-top: 0px; padding-left: 10px; padding-right: 10px;">
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
<strong><u>Teorema</u>:</strong></div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Un grafo <img alt="G" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G" /> es euleriano y sin vértices aislados <img alt="\Leftrightarrow" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5CLeftrightarrow&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="\Leftrightarrow" /> <img alt="G" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G" /> es conexo y el grado de todos sus vértices es par.</div>
</blockquote>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
<u>Demostración</u>:</div>
<ul style="list-style-type: square; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; margin-right: 0px; margin-top: 5px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><img alt="\left ( \Rightarrow \right )" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cleft%20%28%20%5CRightarrow%20%5Cright%20%29&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="\left ( \Rightarrow \right )" /> Si <img alt="G" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G" /> es euleriano entonces contiene un circuito euleriano y como no tiene vértices aislados entonces cualquier par de vértice <img alt="u" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=u&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="u" /> y <img alt="v" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=v&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="v" /> están conectados por la parte del circuito que va de <img alt="u" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=u&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="u" /> a <img alt="v" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=v&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="v" />. Por tanto <img alt="G" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G" /> es conexo.<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Por otra parte, como <img alt="G" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G" /> es euleriano contiene un circuito euleriano, es decir, un camino simple y cerrado que contiene a todas las aristas. Por tanto por cada arista que llegue a un vértice debe haber otra que salga del mismo y en consecuencia el grado de cada vértice es un número par.</div>
</li>
<li style="margin-bottom: 0px; margin-left: 20px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><img alt="\left ( \Leftarrow \right )" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cleft%20%28%20%5CLeftarrow%20%5Cright%20%29&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="\left ( \Leftarrow \right )" /> Partimos de que <img alt="G" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G" /> es conexo y todos sus vértices tienen grado par.<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Si el número de aristas de <img alt="G" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G" /> es 1 ó 2 el resultado es inmediato. Procedemos por inducción: supongamos que <img alt="G" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G" /> tiene <img alt="n" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=n&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="n" /> aristas y que el resultado es cierto para los grafos que cumplan las condiciones y tengan menos de <img alt="n" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=n&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="n" /> aristas.</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Usando que todo grafo en el que todos sus vértices tienen grado mayor o igual que dos posee un circuito (¿por qué?) tenemos que el nuestro contiene un circuito, dikgamos <img alt="C" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=C&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="C" />. Si <img alt="C" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=C&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="C" /> contiene todas las aristas de <img alt="G" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G" />, entonces <img alt="C" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=C&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="C" /> es un circuito euleriano y hemos terminado. En caso contrario sea <img alt="G_1" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G_1&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G_1" />el grafo obtenido al suprimir de <img alt="G" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G" /> las aristas de <img alt="C" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=C&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="C" /> y suprimir después los vértices que han quedado aislados. Puede que el grafo haya quedado dividido en subgrafos no conectados entre sí; cada uno de ellos es una componente conexa de <img alt="G_1" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G_1&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G_1" />.</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Por haber eliminado las aristas de un circuito todos los vértices de <img alt="G_1" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G_1&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G_1" /> tiene grado par. Por la hipótesis de inducción, cada componente conexa <img alt="G_{1i}" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G_%7B1i%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G_{1i}" />de <img alt="G_1" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G_1&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G_1" /> contiene un circuito euleriano.</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Como en cada componente conexa <img alt="G_{1i}" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G_%7B1i%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G_{1i}" /> debe haber al menos un vértice <img alt="v_i" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=v_i&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="v_i" /> de <img alt="C" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=C&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="C" /> podemos obtener un circuito euleriano en <img alt="G" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G" /> (que es lo que queríamos conseguir) del siguiente modo:</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
<em>Partimos de un vértice cualquiera de <img alt="C" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=C&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="C" /> (que recordemos que no era un circuito euleriano). Recorremos <img alt="C" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=C&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="C" /> hasta llegar a un vértice <img alt="v_i" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=v_i&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="v_i" /> de una componente conexa <img alt="G_{1i}" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G_%7B1i%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G_{1i}" /> de <img alt="G" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G" />. Recorremos esta componente conexa a través del circuito euleriano que hemos visto que debe contener y continuamos recorriendo <img alt="C" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=C&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="C" /> hasta que nos encontremos con un vértice de otra de las componentes conexas, realizando entonces la misma operación. Repetimos el procedimiento hasta llegar al vértice de partida, obteniendo así un circuito euleriano.</em></div>
</li>
</ul>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
c.q.d.</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Observemos ahora el grafo que habíamos obtenido de la ciudad de Königsberg y calculemos el grado de todos sus vértices. Hay tres vértices con grado <img alt="3" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=3&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="3" /> y un vértice con grado <img alt="5" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=5&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="5" />. Es decir, no hay ninguno con grado par. Por tanto, según el teorema anterior, este grafo no contiene un circuito euleriano, esto es,<strong>no podemos comenzar en un punto de la ciudad y recorrer cada uno de los puentes sólo una vez y terminar en el punto de partida</strong>.</div>
<h3 style="color: #555656; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 1.2em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 5px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;">
El problema del sobre y similares</h3>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Supongo que muchos de vosotros os habréis encontrado con el típico problema de recorrer todos los segmentos de un dibujo sólo una vez sin levantar el lápiz del papel. En esos problemas los vértices inicial y final no tiene que ser el mismo, es decir, puedo comenzar en el vértice que quiera y terminar en ese mismo o en cualquier otro, pero debo pasar por todas las líneas una y sólo una vez sin levantarme del papel. El más típico es el sobre:</div>
<div align="center" style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
<img alt="Sobre cerrado" src="http://farm4.static.flickr.com/3188/2460099027_fe08230fdd_o_d.jpg" style="border-bottom-color: transparent; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: transparent; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;" /></div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
El siguiente resultado es un corolario del teorema anterior y nos ayudará a analizar todos estos problemas:</div>
<blockquote style="border-left-color: rgb(50, 110, 161); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; color: #555555; font-size: 1em; margin-bottom: 0px; margin-left: 30px; margin-right: 30px; margin-top: 0px; padding-left: 10px; padding-right: 10px;">
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
<span style="text-decoration: underline;">Corolario</span>:</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Un grafo <img alt="G" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G" /> contiene un camino euleriano <img alt="\Leftrightarrow" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5CLeftrightarrow&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="\Leftrightarrow" /> <img alt="G" class="latex" src="http://s.wordpress.com/latex.php?latex=G&bg=ffffff&fg=000000&s=0" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: middle;" title="G" /> es conexo y tiene como máximo dos vértices de grado impar.</div>
</blockquote>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
La demostración os la dejo a vosotros para que la penséis.</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Un camino euleriano es precisamente lo que buscamos cuando queremos resolver estos problemas. Por tanto lo único que tenemos que hacer es calcular el grado de cada vértice. Si tenemos más de dos vértices de grado impar el recorrido no será posible; por el contrario, si tiene sólo dos vértices o ningún vértice con grado impar entonces sí se podrá recorrer de esa forma (no puede haber sólo un vértice con grado impar ya que el número de vértices de grado impar es par, ¿por qué?). En el caso de nuestro sobre tenemos cuatro vértices con grado impar y por tanto no podremos recorrer todas las aristas sólo una vez sin levantar el lápiz del papel.</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Por contra, si tenemos el sobre <em>abierto</em>:</div>
<div align="center" style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
<img alt="Sobre abierto" src="http://farm4.static.flickr.com/3273/2460099117_36baa46976_o_d.jpg" style="border-bottom-color: transparent; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 2px; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-color: transparent; border-top-style: solid; border-top-width: 2px; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;" /></div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
sí podremos recorrerlo así ya que ahora sólo hay dos vértices con grado impar, los dos de abajo. De hecho se sabe que para recorrer todas las aristas sólo una vez sin levantar el lápiz del papel debemos comenzar en uno de los vértices de grado impar y terminar en el otro.</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
Con estos resultados ya no habrá problema de este tipo que se os resista.</div>
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
<br /></div>
fuente: <a href="http://gaussianos.com/los-puentes-de-konigsberg-el-comienzo-de-la-teoria-de-grafos/">http://gaussianos.com/los-puentes-de-konigsberg-el-comienzo-de-la-teoria-de-grafos/</a><span class="Apple-style-span" style="color: #282828; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px;"></span><br />
<div style="line-height: 1.3em; margin-bottom: 10px; margin-right: 10px;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #282828; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px;"><br /></span></div>
<span class="Apple-style-span" style="color: #282828; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px;">
</span>ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-5517565228371247822011-09-10T16:59:00.000-07:002011-09-10T17:00:03.407-07:00El último teorema de Fermat y Los Simpsons <span class="Apple-style-span" style="color: #282828; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px;">En 1995 se emite <a href="http://www.thesimpsons.com/episode_guide/0706.htm">este capítulo de <strong>Los Simpsons</strong></a> en el que, entre otras cosas, <strong>Homer</strong> salta a otra dimensión y, a través de una <em>puerta</em>, aparece en el mundo humano. El episodio la verdad es que es bastante friki, pero mucha gente no se dio cuenta de un detalle, digamos, enigmático. Mientras <strong>Homer</strong>está en ese <em>mundo</em> entre lo animado y lo humano aparece en imagen lo siguiente:</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="color: #282828; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px;"><br />
</span><br />
<center><span class="Apple-style-span" style="color: #282828; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px;"><img src="http://static.flickr.com/87/266053117_b0bf15648a_o.jpg" /></span></center><span class="Apple-style-span" style="color: #282828; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 14px;"><br />
<strong>Homer</strong> en primer plano y una igualdad a su espalda:<br />
<br />
<h3>
1782<sup>12</sup> + 1841<sup>12</sup> = 1922<sup>12</sup></h3>
<br />
Bah, algo sin demasiada importancia. Una igualdad como otra cualquiera que digo yo que será cierta…¿Seguro?. Comprobémoslo. Por ejemplo, vayámonos a <a href="http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/">Wiris</a> y hagamos la raíz de índice 12 de 1782<sup>12</sup> + 1841<sup>12</sup>. ¿Cuál es el resultado?. Pues sí, <strong>1922</strong>. Esto, evidentemente, demuestra que la igualdad es cierta…¿Seguro?. Pues no, <strong>esa igualdad no es cierta</strong> (hay una forma de demostrarlo en solamente un reglón y sin necesidad de realizar ningún cálculo…¿se le ocurre a alguien?). Y no es cierta por lo siguiente: el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_Teorema_de_Fermat">último teorema de Fermat</a> fue demostrado en ese mismo año, 1995, y como ya vimos en<a href="http://gaussianos.com/el-ultimo-teorema-de-fermat/">este post anterior</a> ese tipo de igualdades no son posibles. Incógnita resuelta, la igualdad no es cierta y su inclusión en ese capítulo es simplemente una coña de los creadores de la serie. Pero…¿por qué en la calculadora anterior sí se cumple?. Pues muy sencillo. Vamos a ver concretamente los resultados de cada una de las operaciones:<br />
<strong>1782<sup>12</sup> = 1025397835622633634807550462948226174976</strong><br /><strong>1841<sup>12</sup> = 1515812422991955541481119495194202351681</strong><br />
<strong>1782<sup>12</sup> + 1841<sup>12</sup> = 2541210258614589176288669958142428526657</strong><br /><strong>1922<sup>12</sup> = 2541210259314801410819278649643651567616</strong><br />
Como podemos ver la suma de las dos primeras potencias y la tercera se parecen mucho. De hecho coinciden en las 9 primeras cifras, y si redondeamos los dos números a 10 cifras son iguales. Esa es la clave. Me explico: <a href="http://imdb.com/name/nm0169326/"><strong>David X. Cohen</strong></a>, uno de los guionistas y productores de <em>Futurama</em> y <em>Los Simpsons</em>había escrito un programa que buscaba combinaciones de <em>x, y, z</em> y <em>n</em> que parecían cumplir el <strong>último teorema de Fermat</strong> en una calculadora. Pero como comenté un poco más arriba sin necesidad de realizar ningún cálculo se puede echar por tierra esa igualdad.<br />
Pero <strong>Cohen</strong> no se rindió. Y tiempo después, en 1998, nos brindó otra perla del estilo:<br />
<br />
<h3>
3987<sup>12</sup> + 4365<sup>12</sup> = 4472<sup>12</sup></h3>
<br />
Y ésta no la podemos refutar con el sencillo argumento con el que podemos hacerlo con la anterior. Pero, evidentemente, sigue sin ser cierta. Os pongo los resultados:<br />
<strong>3987<sup>12</sup> = 16134474609751291283496491970515151715346481</strong><br /><strong>4365<sup>12</sup> = 47842181739947321332739738982639336181640625</strong><br />
<strong>3987<sup>12</sup> + 4365<sup>12</sup> = 63976656349698612616236230953154487896987106</strong><br /><strong>4472<sup>12</sup> = 63976656348486725806862358322168575784124416</strong><br />
Nuevamente si redondeamos a 10 cifras ambos números obtenemos el mismo resultado.<br />
Y eso es lo que hace la calculadora que os puse antes con números tan grandes: redondea hasta donde, digamos, <em>puede</em> trabajar. Es el problema de las calculadoras: cuando trabajamos con un cierto número de cifras nos <em>salimos</em> del rango máximo de trabajo de la misma y eso produce un error que la máquina soluciona redondeando. De todas formas, aun conociendo ese error, es complicadísimo encontrar un ejemplo como los dos que encontró <strong>Cohen</strong>. Y es que ser <strong>Licenciado en Física por la Universidad de Harvard</strong> además de tener un <strong>Máster en Ciencias Computacionales por la Universidad de Berkeley</strong> tenía que servir de algo <img alt="P" src="http://gaussianos.blogsome.com/wp-images/smilies/icon_razz.gif" /> .<br />
Y ni mucho menos éste es el único guiño matemático que podemos encontrar en <strong>Los Simpsons</strong>. <a href="http://www.mathsci.appstate.edu/~sjg/simpsonsmath/">En esta página</a> podemos ver algunos más.<br />
<br />
(Fuente principal: <a href="http://www.sciencenews.org/articles/20060610/bob8.asp">Science News: Springfield Theory</a>)</span>ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-26454176540821604502011-09-09T15:57:00.000-07:002011-09-09T15:57:38.211-07:00Grigori Perelman se inspiró en Jesús para resolver el problema de Poincaré<span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;">Navegando por el blog</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"> </span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><a href="http://www.asusta2.com.ar/" style="color: black; text-decoration: none;">Asusta2</a></span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"> </span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;">encontré esta interesante noticia relacionada con el mundo de las matemáticas.</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtXQ_Yze6VCfKR0hidoR2AnZi-NK3cK7LQjcHN0ShU01L0TTvQTPp-jxN2D4sIGMI9ags4SsGEwBxynTD-gSb1QvDtzcGFCboCbMAwX0jB6DRRVY8sV_kSz7WA1VJUoFhlvLNT-BSoS0T9/s1600/perelman.jpg" imageanchor="1" style="color: black; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-decoration: none;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtXQ_Yze6VCfKR0hidoR2AnZi-NK3cK7LQjcHN0ShU01L0TTvQTPp-jxN2D4sIGMI9ags4SsGEwBxynTD-gSb1QvDtzcGFCboCbMAwX0jB6DRRVY8sV_kSz7WA1VJUoFhlvLNT-BSoS0T9/s1600/perelman.jpg" style="border-bottom-color: rgb(0, 0, 0); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(0, 0, 0); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(0, 0, 0); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(0, 0, 0); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;" /></a></div>
<span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;">Recordemos que durante el año 2010, el matemático ruso Grigori Perelman fue premiado con un millon de dólares por la Clay Mathematics Institute (CMI), por haber publicado en Internet durante el año 2002 la solución a uno de los 7 problemas matemáticos hasta ese momento sin resolver.</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"> </span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><br />
<h2 style="color: black; font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px; font: normal normal bold 78%/normal 'Trebuchet MS', Trebuchet, Arial, Verdana, sans-serif; letter-spacing: 0.2em; line-height: 1.4em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 1.5em; text-transform: uppercase;">
LA CONJETURA DE POINCARÉ</h2>
<span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;">La Conjetura de Poincaré es una de las hipótesis más importantes de la topología, tanto es así que fue elegida como uno de los “Siete Problemas del Milenio”, seleccionados por el Clay Mathematics Institute de Cambridge.</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiF6LtPXZA9mbDWttpxmBgxXVh41TJUxSZ3MFKgZrmVg3qPKuI1NVWYpIs56mvmvq8UcFV5IIqRfudiEmDSMZJ_3bWC3McfzutZF54bhU_l7VAfvBsp7QXt9CErKrzMq34nAXpD-F_wIqu/s1600/esferapoincare.jpg" style="color: black; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-decoration: none;"><img border="0" height="78" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiF6LtPXZA9mbDWttpxmBgxXVh41TJUxSZ3MFKgZrmVg3qPKuI1NVWYpIs56mvmvq8UcFV5IIqRfudiEmDSMZJ_3bWC3McfzutZF54bhU_l7VAfvBsp7QXt9CErKrzMq34nAXpD-F_wIqu/s400/esferapoincare.jpg" style="border-bottom-color: rgb(0, 0, 0); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(0, 0, 0); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(0, 0, 0); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(0, 0, 0); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;" width="400" /></a></span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"> </span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;">En una 2-esfera, cualquier lazo se puede apretar continuamente a un punto en la superficie. Esta condición caracteriza la 2-esfera. La conjetura de Poincaré extiende este hecho a la 3-esfera, más difícil de visualizar.</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><b>El enunciado preciso de la Conjetura de Poincaré es:</b></span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><i>Una variedad tridimensional cerrada con grupo fundamental trivial es homeomorfa a la esfera tridimensional.</i></span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;">Perelman, quien seimpre se mostró contrario a dar entrevistas explicó finalmente a una productora cinematográfica publicada por el diario Komsomolskaia Pravda, que cuando resolvió la famosa conjetura de Poincaré, lo hizo intentando comprender cómo Jesús caminaba sobre las aguas.</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><b>El famoso matemático, quien afirma estar en “desacuerdo” con la comunidad matemática, habría resuelto uno de los problemas más enigmáticos de la historia de las matemáticas, postulado por el francés Henri Poincaré en el año 1904, y habría renunciado al premio de un millón de dólares que otorga la Clay Mathematics Institute (CMI) por la solución del problema.</b></span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;">“Yo se como gobernar el mundo… Porqué tendría que correr detrás de un millón” – Fueron sus palabras a la hora de rechazar la cuantiosa suma de dinero.</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;">El matemático, de 44 años, que vive con su madre en un barrio periférico de San Petersburgo, trataba de averiguar la velocidad a la cual Jesús debía desplazarce por el agua para evitar hundirse, y sin querer descubrió la solución a uno de los problemas que la matemática no había podido solucionar hasta el momento.</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><br />
</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;">Fuente:</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"> </span><span class="Apple-style-span" style="font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: 13px;"><a href="http://asusta2.com.ar/2011/05/02/la-clave-del-misterio-de-poincare/" style="color: black; text-decoration: none;" title="La clave del misterio de Poincaré">La clave del misterio de Poincaré</a></span>ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-55518011250183029532011-09-09T15:56:00.001-07:002011-09-09T15:56:39.646-07:00<div class="post" style="border-bottom-color: rgb(68, 68, 68); border-bottom-style: dotted; border-bottom-width: 1px; color: #cccccc; font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: small; line-height: 20px; margin-bottom: 1.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 1.5em;">
<div class="post-body" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<div style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;">LA HISTORIA<br />
<br />
Y LA GEOMETRÍA<br />
<br />
(I)</span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br />
<br />
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;">Todo comenzó en Egipto</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">El ser humano necesitó contar, y creó los números; quiso hacer cálculos, y definió las operaciones; hizo relaciones, y determinó las propiedades numéricas.<br />
Por medio de lo anterior, más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las situaciones problemáticas surgidas a diario.<br />
Además de esos requerimientos prácticos, el hombre precisó admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu. Con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática que designamos con el nombre de geometría.</span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br /></div>
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/egipto_papiro.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong><br />
<span style="color: #3366ff;"><strong><span style="font-size: 23px;">El río Nilo</span></strong></span><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">La palabra geometría está formada por las raíces griegas: "geo", tierra, y "metrón", medida, por lo tanto, su significado es "medida de la tierra".<br />
Según lo registra la historia, los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicarse la naturaleza nacieron -en forma práctica- a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto.<br />
Las principales causas fueron tener que remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir diques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban las inundaciones periódicas. Pero el verdadero motivo era que las clases altas conocían de esta manera cuánto sembraban sus súbditos para luego... saber cuánto debían cobrarles de impuestos.<br />
<br />
Para medir las tierras los egipcios aprendierona acalcular el área de los rectángulos y de los triánngulos. Para medir los triángulos usaban cuerdas.</span></strong><br />
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
</div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/egipto.1.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br /></div>
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/egito_geometria.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;">Los babilonios</span></strong><br />
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Los babilonios también conocían las áreas delos triángulos y los rectángulos, sobre todo para resolver problemas de herencia ¿cómo repartir las tierras entre los herederos? También conocieron las áreas de los pentágonos, hexágonos y heptágono. Pero en especial estudiaron mucho los círculos.<br />
<br />
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/Babylon.0.jpe" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
<br />
Eran unos excelentes geometras ellos bautizaron las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales. Es decir, dividieron el círculo zodiacal en 12 x 30 = 360 partes. Recordemos que ellos crearo el sistema de numeración sexagesimal (de base 60). ESte zodíaco les serviría para elaborar calendarioa y almanaque: muy útiles para el cultivo de los cereales. Es decir que junto a la geometría nace la astronomía.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/zodiaco2.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/mesopotamia.0.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
De ellos hemos heredado la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Y la patente de nuestra manera de contar el tiempo también es suya.</span></strong><br />
<br />
<br />
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/babilonia_360%3F%3F.0.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<div align="left">
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;">Los griegos</span></strong><br />
<br />
<br />
<strong>Quienes dieron carácter científico a la geometría fueron los griegos, al incorporar demostraciones en base a razonamientos.</strong></div>
<div align="left">
</div>
<strong></strong><br />
<strong></strong><br />
<div align="left">
<strong><br />
</strong></div>
<div align="left">
<img alt="" border="0" height="273" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/TalesMileto.jpe" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" width="213" /><br />
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;">Tales de Mileto</span></strong> <strong><span style="font-size: 17px;">(600 a.d.C.) inició esta tendencia, al concebir la posibilidad de explicar diferentes principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes. Se crtee que nació en Mileto, actual Grecia, (624 a.C.-?, 548 a.C.)</span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="font-size: 17px;">En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis, y astronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre de <span style="color: #33ff33;">astrosofía</span>. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímedes, y contemporáneo de Anaximandro.</span></strong></div>
<strong><span style="font-size: 17px;">Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo, que para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. Sin embargo, no buscó un Creador en dicha racionalidad, pues para él todo nacía del agua, la cual era el elemento básico del que estaban hechas todas las cosas. Suponía que la tierra flotaba en un océano infinito.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">En geometría, y en base a los conocimientos adquiridos en Egipto, elaboró un conjunto de teoremas generales y de razonamientos deductivos a partir de estos. Todo ello fue recopilado posteriormente por Euclides en su obra<em>Elementos</em>, pero <span style="color: #33ff33;">se debe a Tales el mérito de haber introducido en Grecia el interés por los estudios geométricos.</span></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Fue el famoso sabio de la historia que cayó a un pozo por miarar las estrellas y una anciana le dijo:<em>"Prertendes observar las estrellas y ni siquiera ves lo que tienens a tus pies".</em> También se le atribuye a Tales la historia del mulo que cargaba sal y que se metía en el río para disolverlas y aligerar su peso; Tales le quito esa mala costumbre cargándolo con esponjas.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Cuando le preguntaron la recompensa que quería por sus descubrimientos contestó: <span style="color: #33ff33;">"Me consideraría bien recompensado si los demás no se atribuyeran mis hallazgos, sino que reconocieran que son mios".</span></span></strong><br />
<strong><span style="color: #33ff33; font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="color: #33ff33; font-size: 17px;"></span></strong><br />
<span style="color: #33ff33;"></span><br />
<span style="color: #33ff33;"></span><br />
<span style="color: #33ff33;"></span><br />
<span style="color: #33ff33;"><img alt="" border="0" height="325" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/pitagoras.jpe" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" width="222" /></span><br />
<span style="color: #33ff33;"></span><br />
<span style="color: #33ff33;"></span><br />
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<strong><span style="color: red; font-size: 23px;">Pitágoras </span><span style="font-size: 17px;">(582-496 a.C)Era originario de la isla de Samos, situado en el Mar Egeo. En la época de este filósofo la isla era gobernada por el tirano Polícrates. Como el espíritu libre de Pitágoras no podía avenirse a esta forma de gobierno, emigró hacia el occidente, fundando en Crotona (al sur de Italia) una asociación que no tenía el carácter de una escuela filosófica sino el de una comunidad religiosa.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Por este motivo, puede decirse que las ciencias matemáticas han nacido en el mundo griego de una corporación de carácter religioso y moral. Ellos se reunían para efectuar ciertas ceremonias, para ayudarse mutuamente, y aun para vivir en comunidad.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">En la Escuela Pitagórica podía ingresar cualquier persona, ¡hasta mujeres!. En ese entonces, y durante mucho tiempo y en muchos pueblos, las mujeres no eran admitidas en la escuelas. Se dice que Pitágoras se casó con una de las alumnas: Teano.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentágono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas). En esta Escuela se entraba luego de prestarle juramento al número diez, todos los documentos se mantenían de manera oral y nadie podía divulgarlos. Jugaban con piedritas y formaban los números cuadrados y los números rectangulares. Pitágoas conoció a Tales de Mileto y fueron amigos.<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/pentaestrella2.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Para los Pitagóricos, no sólo la tierra era esférica, sino que no ocupaba el centro del universo. La tierra y los planetas giraban -a la vez que el sol- en torno al fuego central o “corazón del Cosmos”(identificado con el número uno). El mundo aspira el aire de la masa sin límites que lo envuelve y habla del aire como lo ilimitado.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Debido a la influencia política que tuvo la Escuela en esa época, influencia que era contraria a las ideas democráticas existentes, se produjo, tal vez, después del año 500 una revuelta contra ellos, siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento, situada al sur de Italia. Algunos piensan que un año más tarde murió asesinado en otra revuelta popular en Metaponto.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/pitagoras_teorema2.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Se debe a Pitágoras el carácter esencialmente deductivo de la Geometría y el encadenamiento lógico de sus proposiciones, cualidades que conservan hasta nuestros días. La base de su filosofía fue la ciencia de los números así como el estudio de la geometría. Pero Pitágoras es famoso por haber descubierto el Teorema que lleva su nombre: el teorema de Pitágoras. ¿En qué consiste este teorema? Simple: los lados de un triángulo rectángulo formana cuadrados.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/pitagoras_1.jpe" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Y si sumamos los cuadrados de los lados menores obtendremos los cuadrados del lado mayor (también conocido como hipotenusa).</span></strong><br />
<br />
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Demostraciones del Teorema de Pitágoras en:</span></strong><br />
<a href="http://www.pajarita.org/aep/articulos/ARTIC6-2.PDF" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><strong><span style="color: #3333ff; font-size: 17px;">http://www.pajarita.org/aep/articulos/ARTIC6-2.PDF</span></strong></a><br />
<br />
<br />
<span style="color: #3333ff;"></span><br />
<br />
<br />
<br />
<img alt="" border="0" height="243" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/320/platon_peque%3F%3Fo.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" width="191" /><br />
<br />
<span style="font-size: 23px;"><span style="color: red;"><strong>Platón</strong> <strong><span style="font-size: 30px;"><span style="color: black;">(</span><span style="color: black;">4</span></span></strong></span></span><strong><span style="font-size: 17px;">27-348/347 a.n.e.) Arístocles de Atenas, apodado Platón (Plátwn = «el de anchas espaldas»), nace, probablemente, el año 428-427 a.n.e. en Atenas, o quizás en Aegina. Pertenecía a una familia noble.El año 399 tiene lugar la condena y muerte de Sócrates. Temiendo ser molestado por su condición de amigo y discípulo de Sócrates, Platón se refugia en Megara Asimismo viajó por Egipto, Sicilia e Italia en compañía del matemático Eudoxio.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">En el 387 regresa a Atenas y funda la Academia, primera escuela de filosofía organizada, origen de las actuales universidades. Allí permanecerá durante veinte años dedicado al estudio y a la enseñanza. Hizo colocar, a la entrada de la Academia, su célebre y significativa frase: <span style="color: #33ff33;">“No entres aquí el que no conoce geometría”</span>. Esta y otras proposiciones como <span style="color: #33ff33;">“los números gobiernan al mundo”.</span></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/320/academia_platon.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Según Platón, el estudio de la Geometría debía empezarse en el orden siguiente:1.-Definiciones2.-Axiomas3.-Postulados4.-TeoremasA esta directiva de Platón se adaptaron los matemáticos posteriores a él, principalmente </span></strong><a href="http://www.mat.usach.cl/histmat/html/eucl.html" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><strong><span style="font-size: 17px;">Euclides</span></strong></a><strong><span style="font-size: 17px;">.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Los sólidos platónicos, cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos o poliedros de Platón (que todos estos nombres reciben) son cuerpos geométricos caracterizados por ser </span></strong><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro" style="color: #99aadd; text-decoration: none;" title="Poliedro"><strong><span style="font-size: 17px;">poliedros</span></strong></a><strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><a class="new" href="http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Convexo&action=edit" style="color: #99aadd; text-decoration: none;" title="Convexo"><strong><span style="font-size: 17px;">convexos</span></strong></a><strong><span style="font-size: 17px;"> cuyas caras son </span></strong><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%83%C2%ADgono" style="color: #99aadd; text-decoration: none;" title="Polígono"><strong><span style="font-size: 17px;">polígonos</span></strong></a><strong><span style="font-size: 17px;"> regulares iguales y en cuyos </span></strong><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%83%C2%A9rtice" style="color: #99aadd; text-decoration: none;" title="Vértice"><strong><span style="font-size: 17px;">vértices</span></strong></a><strong><span style="font-size: 17px;"> se unen el mismo número de </span></strong><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Cara" style="color: #99aadd; text-decoration: none;" title="Cara"><strong><span style="font-size: 17px;">caras</span></strong></a><strong><span style="font-size: 17px;">.<br />
Existen cinco sólidos platónicos diferentes:<br />
El </span></strong><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Tetraedro" style="color: #99aadd; text-decoration: none;" title="Tetraedro"><strong><span style="font-size: 17px;">tetraedro</span></strong></a><strong><span style="font-size: 17px;">, de cuatro caras triangulares;<br />
El </span></strong><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Hexaedro" style="color: #99aadd; text-decoration: none;" title="Hexaedro"><strong><span style="font-size: 17px;">hexaedro</span></strong></a><strong><span style="font-size: 17px;">, o cubo, de seis caras cuadradas;<br />
El </span></strong><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Octaedro" style="color: #99aadd; text-decoration: none;" title="Octaedro"><strong><span style="font-size: 17px;">octaedro</span></strong></a><strong><span style="font-size: 17px;">, de ocho caras triangulares;<br />
El </span></strong><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Dodecaedro" style="color: #99aadd; text-decoration: none;" title="Dodecaedro"><strong><span style="font-size: 17px;">dodecaedro</span></strong></a><strong><span style="font-size: 17px;">, de doce caras pentagonales; y<br />
El </span></strong><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Icosaedro" style="color: #99aadd; text-decoration: none;" title="Icosaedro"><strong><span style="font-size: 17px;">icosaedro</span></strong></a><strong><span style="font-size: 17px;">, de veinte caras triangulares.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Los cinco sólidos platónicos representan la composición y armonía de las cosas. En el Timeo se dice que la Tierra está formada por átomos agrupados en forma de hexaedros; el fuego, de tetraedros, el aire, de octaedros, y el agua, de icosaedros. El universo en su totalidad está figurado en el dodecaedro.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">¿Quieres "tocar" estos poliedros en la red:</span></strong><br />
<a href="http://www.luventicus.org/articulos/03N023/index.html" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><strong><span style="color: #3333ff; font-size: 17px;">http://www.luventicus.org/articulos/03N023/index.html</span></strong></a><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">¡También encontrarás las plantillas para recortar y armar!</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Entraremos en más detalles en el blog de los poliedros...</span></strong><br />
<div style="clear: both; line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.25em;">
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<div class="post-footer" style="color: #333333; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: -0.25em;">
<em style="color: #777777; font-style: normal; font: normal normal normal 78%/1.4em 'Trebuchet MS', Trebuchet, Arial, Verdana, sans-serif; letter-spacing: 0.1em; margin-right: 0.6em; text-transform: uppercase;">POSTED BY LEONARDO SANCHEZ COELLO AT <a href="http://poligonos1.blogspot.com/2005/10/la-historia-y-la-geometra-i-todo.html" style="color: #99aadd; text-decoration: none;" title="permanent link">6:09 PM</a></em> <a class="comment-link" href="https://www.blogger.com/comment.g?blogID=17931344&postID=113055147350532292" location.href="https://www.blogger.com/comment.g?blogID=17931344&postID=113055147350532292;" style="color: #99aadd; font: normal normal normal 78%/1.4em 'Trebuchet MS', Trebuchet, Arial, Verdana, sans-serif; letter-spacing: 0.1em; margin-left: 0.6em; text-decoration: none; text-transform: uppercase;">1 COMMENTS</a></div>
</div>
<div class="post" style="border-bottom-color: rgb(68, 68, 68); border-bottom-style: dotted; border-bottom-width: 1px; color: #cccccc; font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: small; line-height: 20px; margin-bottom: 1.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 1.5em;">
<a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=1526425978181397829" name="113052724999931836"></a><br />
<div class="post-body" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<div style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<div style="clear: both; line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
</div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 13px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;">LA HISTORIA<br />
<br />
Y LA GEOMETRÍA</span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;">(II)</span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br /></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br />
<br />
<span style="color: #3366ff; font-size: 23px;"><strong>EL SISTEMATIZADOR</strong></span></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="color: #3366ff; font-size: 23px;"><strong>- EUCLIDES -</strong></span></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="color: #3366ff; font-size: 23px;"><strong><br />
</strong></span></div>
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/euclides_conalumnos.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Poco se sabe de este matemático griego, incluso hay quien opina que en realidad nunca existió, sino que sus obras pertenecen a un grupo de matemáticos griegos que se hacía llamar por ese nombre. Se cree que vivió entre los siglos IV y III de antes de nuestra era (330-275 A.c) y que trabajó en la Biblioteca de Alejandría. Su gran mérito consistió en recopilar y sintetizar los conocimientos geométricos de su época.<br />
<br />
Su libro clave es el llamado Elementos, y constaba originalmente de trece volúmenes en los que se exponía la geometría clásica. Este libro tiene tanta importancia para las matemáticas como el Principia de Newton para la Física o el Origen de las Especies de Darwin para la Biología.</span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><br />
<span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/impresoEUCLIDES2.0.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br />
<span style="color: yellow;"><strong><span style="font-size: 17px;">Una página de su primera edición impresa</span></strong></span></div>
<span style="color: yellow;"></span><br />
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="color: yellow;"><br /></span><br />
<span style="color: yellow;"><strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></span></div>
<span style="color: yellow;"><strong><span style="font-size: 17px;">Para sentar las bases de la Geometría, Euclides utilizó lo que se llama axiomas, que no son otra cosa que principios fundamentales indemostrables pero que se consideran evidentes, y a partir de los cuales se construye una teoría. Él los llamó postulados y formuló cinco primordiales que se pueden exponer de varias maneras equivalentes, una de las cuales es:<br />
<br />
1. Si tenemos dos puntos, entonces podemos dibujar una recta que los une<br />
2. Cualquier recta se puede hacer todo lo larga que se quiera<br />
3. Se puede trazar una circunferencia de cualquier tamaño alrededor de cualquier punto<br />
4. Todos los ángulos rectos son iguales<br />
5. Si tenemos una recta y un punto externo a ella, podremos dibujar todas las rectas que queramos qe pasen por ese punto, pero sólo una de ellas será paralela a la que ya teníamos.<br />
<br />
Todo esto parece evidente, pero el gran mérito de Euclides fue deducir toda la geometría de su época a partir de estos 5 postulados. Tanto es así, que a la geometría clásica se le llama en su honor Geometría Euclídea o Euclidiana.<br />
<br />
El quinto postulado siempre fue polémico, Muchos pensaban que no era un axioma sino un teorema, es decir, parecía que no era tan primordial como los otros y que se podía deducir a partir de los otros 4, y durante siglos se intentó hallar la manera de hacerlo. Sin embargo, resultó que no era posible.<br />
</span></strong><div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
</div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
</div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br />
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;">GEOMETRÍAS NO-EUCLIDEANAS</span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;">- LOBACHEVSKY -</span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br /></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/lobachevsky_chico.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Pasaron más de 2000 años hasta que el problema del quinto postulado quedó zanjado. Se cree que Karl Fiedrich Gauss (1777- 1885), fue el primero que lo vio claro, pero ni alguien como él, considerado ya en vida uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos, se atrevió a publicar sus conclusiones, puesto que rompían con un dogma milenario.<br />
<br />
Sí se atrevió un contemporáneo suyo, el ruso Nicolai Lobachevski (1792-1856), quien en 1826 no sólo dijo que el quinto axioma de Euclides no se podía deducir de los otros cuatro, sino que no era tal axioma. Ese axioma se podía sustituir por otro y construir toda una geometría distinta. Sin embargo, la obra de Lovachevski no alcanzó demasiada repercusión más allá de su círculo cercano, en la remota Universidad de Kazán, ciudad perteneciente a la no menos remota república rusa de Tatarstán.<br />
<br />
<br />
<br />
Así surgieron varias geometrías distintas a la clásica, incluso un alumno de Gauss, Georg Bernhard Riemann (1826 – 1866) elaboró una geometría en la que no hay rectas paralelas. El mismo Riemann sintetizó más adelante el estudio de geometrías no euclídeas, llamadas hoy en su honor Geometrías Riemannianas.<br />
</span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br />
<br />
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;">¿PUEDEN EXISTIR GEOMETRÍAS NO EUCLIDEAS?</span></strong></div>
</span><br />
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Puede resultar extraño imaginar geometrías en las que no se cumplan los postulados de Euclides, pero hay un ejemplo que nos puede ayudar a imaginarlo, basta con pensar en una esfera, como puede ser un balón de fútbol o, aproximadamente, nuestro planeta Tierra. Si dibujamos una recta sobre esta esfera, ésta no podrá ser infinita como en un plano, puesto que acabaremos volviendo al mismo punto, y por tanto su tamaño será el del diámetro de la esfera, es decir, que no tendremos rectas en el sentido tradicional, sino que tendremos circunferencias que cumplen la misma función que las rectas en la geometría tradicional.</span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/esfera.jpe" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
</span></strong><span style="color: yellow; font-size: 17px;"><strong>En una esfera la geometría no es igual que en un plano</strong></span></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Este asunto de la esfera se conocía, como es lógico, desde mucho tiempo atrás pero nadie se había puesto a estudiarlo seriamente, se consideraba que sólo eran casos degenerados de geometría euclídea. Sin embargo desde el Siglo XIX se consideran geometrías tan válidas como la clásica, y podemos decir que existen infinitas geometrías posibles, dependiendo de la curvatura de la superficie con la que estemos tratando. La geometría euclídea sólo es el caso particular que se inscribe en un plano, es decir, cuando la curvatura es nula.<br />
</span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br />
<br />
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;">LA GEOMETRÍA Y LA RELATIVIDAD</span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;">- ALBERT EINSTEIN -</span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br /></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/einstein3.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Recordemos que vivimos en un universo de cuatro dimensiones, las tres espaciales más el tiempo. Este asunto de la curvatura del espacio-tiempo se puede imaginar más fácilmente sobre un supuesto universo de sólo dos dimensiones, es decir un plano, como podría ser un colchón. Si en ese colchón se pone una canica, esta se quedará quieta. Pero si después de la canica ponemos un objeto más pesado, como una bola grande de hierro, esta hundirá (curvará) el colchón de forma que la canica tenderá a acercarse a la bola de hierro.</span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><br />
<span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/ESFERA_curvas.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></span></strong><span style="color: yellow;"><strong><span style="font-size: 17px;">El espacio se curva alrededor de los cuerpos</span></strong></span></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Se puede decir que la curvatura del colchón es un ejemplo en dos dimensiones de cómo la Tierra curva el espacio a su alrededor atrayendo a los objetos.<br />
<br />
Y fue a encontrar el funcionamiento de este espacio curvo a lo que dedicó Einstein ocho años. Las complejas ecuaciones resultantes se podrían resumir así: La curvatura del espacio-tiempo en una zona del universo es igual al contenido de masa y energía de esa región.<br />
<br />
La geometría que subyace en esa curvatura no es la de Euclides, sino una no euclidiana que supone consecuencias que nos dan explicaciones distintas para fenómenos que hasta entonces se creían comprendidos. Por ejemplo, los planetas que giran alrededor del Sol en realidad están describiendo una línea recta, pero, como vimos antes, una recta en un espacio no euclidiano es distinta de las rectas de toda la vida.<br />
</span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br />
<span style="color: #3366ff; font-size: 23px;"><strong>LOS PROBLEMAS DEL FUTURO</strong></span></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<span style="color: #3366ff; font-size: 23px;"><strong>- D. HILBERT -</strong></span></div>
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/Hilbert.jpe" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Matemático alemán. Durante el siglo XIX se puso de manifiesto, cada vez de una manera más evidente, que Euclides no había partido de conceptos patentes y que había supuesto muchas cosas sin especificarlas. Se hicieron esfuerzos para fijar un número mínimo de términos y definiciones básicas sin identificar y de éstas deducir rigurosamente la estructura matemática completa.<br />
<br />
Esta es la ciencia axiomática, y fueron Hilbert y Peano quienes la fundaron. Hilbert publicó en 1899 "Foundations of Geometry" (Fundamentos de Geometría), en la que por primera vez se exponían satisfactoriamente una serie de axiomas de geometría. Hilbert se contentó con definir ciertas propiedades en vez de definirlas. También probó que su sistema de axiomas era bastante completo, algo que los griegos habían admitido de los axiomas de Euclides, pero sin demostrarlo. Así completó el trabajo de Euclides sin efectuar cambios en la esencia, pero su fundamento pasó de intuitivo a lógico.<br />
<br />
Es famosa la conferencia que dio en el Congreso Internacional de Matemáticas de París en 1900, de título Problemas matemáticos, en la que proponía una lista de 23 problemas que estaban sin resolver (algunos todavía lo están).<br />
<br />
Una de estas cuestiones era: ¿son las matemáticas decidibles? es decir, ¿hay un método definido que pueda aplicarse a cualquier sentencia matemática y que nos diga si esa sentencia es cierta o no?. Esta cuestión recibió el nombre de enstcheidungsproblem y para resolverla, </span></strong><a href="http://www-etsi2.ugr.es/alumnos/mlii/Alan%20Turing.htm" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><strong><span style="font-size: 17px;">Alan Turing</span></strong></a><strong><span style="font-size: 17px;"> construyó, en 1936, un modelo formal de computador, la </span></strong><a href="http://www-etsi2.ugr.es/alumnos/mlii/Maquina%20de%20Turing.htm" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><strong><span style="font-size: 17px;">Máquina de Turing</span></strong></a><strong><span style="font-size: 17px;">, y demostró que había problemas tales que una máquina no podía resolver.<br />
<br />
Otras dos cuestiones: ¿es la matemática completa?, es decir, ¿puede ser demostrada o refutada cualquier sentencia matemática? y ¿es la matemática consistente?, es decir, ¿es cierto que sentencias tales como 0 = 1 no pueden demostrarse por métodos válidos?. En 1931, </span></strong><a href="http://www-etsi2.ugr.es/alumnos/mlii/Godel.htm" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><strong><span style="font-size: 17px;">Kurt Gödel</span></strong></a><strong><span style="font-size: 17px;"> fue capaz de responder a estas dos preguntas, demostrando que cualquier sistema formal suficientemente potente es inconsistente o incompleto.<br />
<br />
Hilbert trabajó sobre los invariantes algebraicos, geometría (su libro Los fundamentos de la Geometría es un clásico), ecuaciones integrales, también se dedicó a la Física (decía que la Física es demasiado difícil para los físicos), su libro Los métodos de la Física matemática, de Richard Courant y David Hilbert (se conoce como el Courant-Hilbert) se sigue imprimiendo en la actualidad; también trabajo en los fundamentos de las matemáticas y en la lógica matemática.<br />
<br />
El epitafio de Hilbert es "Wir müssen wissen, wir werden wissen" ("Debemos saber, de modo que sabremos")</span></strong><br />
<div style="clear: both; line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.25em;">
</div>
</div>
</div>
<div class="post-footer" style="color: #333333; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: -0.25em;">
<em style="color: #777777; font-style: normal; font: normal normal normal 78%/1.4em 'Trebuchet MS', Trebuchet, Arial, Verdana, sans-serif; letter-spacing: 0.1em; margin-right: 0.6em; text-transform: uppercase;">POSTED BY LEONARDO SANCHEZ COELLO AT <a href="http://poligonos1.blogspot.com/2005/10/la-historia-y-la-geometra-ii-el.html" style="color: #99aadd; text-decoration: none;" title="permanent link">12:03 PM</a></em> <a class="comment-link" href="https://www.blogger.com/comment.g?blogID=17931344&postID=113052724999931836" location.href="https://www.blogger.com/comment.g?blogID=17931344&postID=113052724999931836;" style="color: #99aadd; font: normal normal normal 78%/1.4em 'Trebuchet MS', Trebuchet, Arial, Verdana, sans-serif; letter-spacing: 0.1em; margin-left: 0.6em; text-decoration: none; text-transform: uppercase;">0 COMMENTS</a></div>
</div>
<h2 class="date-header" style="color: #777777; font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: small; font: normal normal bold 78%/1.4em 'Trebuchet MS', Trebuchet, Arial, Verdana, sans-serif; letter-spacing: 0.2em; line-height: 20px; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 1.5em; text-transform: uppercase;">
WEDNESDAY, OCTOBER 26, 2005</h2>
<div class="post" style="border-bottom-color: rgb(68, 68, 68); border-bottom-style: dotted; border-bottom-width: 1px; color: #cccccc; font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: small; line-height: 20px; margin-bottom: 1.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 1.5em;">
<a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=1526425978181397829" name="113034429093330102"></a><br />
<div class="post-body" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<div style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<div style="clear: both; line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
</div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;">INTRODUCCIÓN</span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;">A LA GEOMETRÍA</span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;">TÉRMINOS INDEFINIDOS</span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;">DE LA GEOMETRÍA:</span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;">(PUNTO, LÍNEA Y PLANO) </span></strong><br />
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
</div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<br />
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;"><span style="color: red;">PUNTO</span>Un punto sólo tiene posición en el espacio.<br />
Es la unidad indivisible de la geometría.<br />
No tiene dimensión (largo, alto, ancho)</span></strong><br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: red; font-size: 17px;">LÍNEA</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.</span></strong><br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: red; font-size: 17px;">LÍNEA RECTA</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.</span></strong></div>
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/intro_linearecta1.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: red; font-size: 17px;">¿LA RECTA ES INFINITA?</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Claro las rectas son infinitas por eso en geometría se trbaja con "pedazos" o "trozos" de recta denominados: segmentos de recta.</span></strong><br />
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/intro_segmentoderecta1.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: red; font-size: 17px;">¿CÓMO UNIR DOS PUNTOS?</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Para unir dos puntos, podemos utilizar muchos tipos diferentes de líneas. De todas ellas, la más corta será la línea recta. Una recta está formada por infinitos puntos y no tiene principio ni fin.</span></strong><br />
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/intro_puntos_lineas.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;"><span style="color: red;">LÍNEA CURVA</span><br />
Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.</span></strong><br />
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/intro_linecurva.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<div align="left">
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Una línea puede ser recta, curva o combinada. Una línea cualquiera, puede extenderse en forma ilimitada</span></strong>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;"><span style="color: red;">EL PLANO</span><br />
Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero no espesor.<br />
<br />
El plano tiene dos dimensiones a diferencia de la mayoría de los casos que nos rodean que están en tres dimensiones.</span></strong></div>
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/intro_plano.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">La geometría plana estudia por ejemplo los triángulos, cuadriláteros, circunferencia, círculo...<br />
En otras palabras la geometría plana estudia a las figuras planas (polígonos).<br />
</span></strong><br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;">DIAGRAMAS CARTESIANOS</span></strong><br />
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong><br />
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/dia_cartesio2.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong><br />
<span style="font-size: 17px;"><strong><span style="color: red;"><span style="color: black;">Estos diagramas fueron creados por Rene Descartes, tambien conocido como Cartesio, de ahí que estos diagramas se llamen denominen</span>diagramas cartesianos.</span><br />
<span style="color: black; font-size: 17px;"></span></strong></span><br />
<span style="font-size: 17px;"><strong>Un diagrama cartesiano consiste en dividir el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes mediante dos rectas perpendiculares entre sí (horizontal y vertical respectivamente). Dichas rectas se cortan en un punto que recibe el nombre de origen de coordenadas. </strong><br />
<strong></strong></span><strong><span style="font-size: 17px;">Estas rectas reciben los nombres de: la recta horizontal (llamada "eje de abscisas" o "eje de las x") y la recta vertical (llamada "eje de ordenadas" o "eje de las y").<br />
<br />
<span style="color: yellow;">¿Qué es un par ordenado?</span><br />
</span></strong><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/dia_cartesio.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
<span style="font-size: 17px;"><strong><span style="color: black;">Veamos un ejemplo, en la figura de arriba: el punto de coordenadas (2,3) se localiza situándonos en el punto marcado con el 2 en el eje de las "x"; una vez aquí, subimos hacia arriba verticalmente de forma paralela al eje de las "y", hasta el lugar marcado en este eje con el 3, ese es el punto buscado.</span></strong><br />
<strong><span style="color: black;"></span></strong><br />
</span><strong><span style="font-size: 17px;"><span style="color: yellow;">¿Qué es un producto cartesiano?</span><br />
Si tenemos dos conjuntos A y B, y tratamos de armar todos los pares posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B, obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos. Se escribe:</span></strong><br />
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/intro_productocartesiano.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
Podemos representarlo de diferentes formas: diagramas de flechas, diagramas arbolados, tablas y gráficos cartesianos. Cada par que formemos con un elemento de A y uno de B, en ese orden, recibe el nombre de par ordenado.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/dia_tabla.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/dia_arbol1.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/dia_cartesiano.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/dia_flechas1.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<strong><span style="color: red; font-size: 13px;"></span></strong><br />
<br />
<strong><span style="color: red; font-size: 13px;"></span></strong><br />
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;">LOS ÁNGULOS</span></strong><br />
<span style="color: red; font-size: 13px;"></span><br />
<span style="color: red; font-size: 17px;"><strong>La palabra ángulo proviene de la palabra "rodilla" en griego.</strong></span><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas con origen en un mismo punto. Las semirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen común se le denomina vértice del ángulo. Un ángulo puede estar situado en cualquier parte del plano pero, a veces nos será útil trasladarlo a un sistema cartesiano de coordenadas de modo que el vértice del ángulo caiga sobre el origen de coordenadas y el lado inicial sobre el eje positivo de abscisas.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/intro_angulo1.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Dos semirrectas forman un ángulo. El punto A es el vértice.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/intro_angulo2.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></span></strong><br />
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">El ángulo se denota con una de las letras del alfabeto griego.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Conoce el alfabeto griego:</span></strong><br />
<a href="http://personal5.iddeo.es/ztt/pra/alfabeto_griego.htm" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><strong><span style="font-size: 17px;">http://personal5.iddeo.es/ztt/pra/alfabeto_griego.htm</span></strong></a><br />
<br />
<strong><span style="color: yellow; font-size: 17px;">CLASES DE ÁNGULOS</span></strong><br />
El ángulo que mide 90º se denomina recto. El que mide menos de 90º es un angilo agudo y el que mide más de 90º es un ángulo obtuso. Los ángulos llanos miden 180º.<br />
<br />
<br />
<br />
<a href="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/1600/angulorecto1.gif" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/angulorecto1.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; float: left; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;" /></a><br />
<a href="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/1600/angulollano1.gif" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/angulollano1.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; float: left; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;" /></a><br />
<a href="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/1600/anguloagudo.gif" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/anguloagudo.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; float: left; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;" /></a><br />
<a href="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/1600/anguloobtuso.gif" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/anguloobtuso.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; float: left; margin-bottom: 10px; margin-left: 0px; margin-right: 10px; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px;" /></a><br />
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<strong><span style="font-size: 17px;">Pero puedes medir los ángulos con tu puño ¿no lo crees? Click en:</span></strong><br />
<a href="http://www.experimentar.gov.ar/newexperi/NOTAS/planetatierra/lunaexploracion.htm" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><strong><span style="font-size: 17px;">http://www.experimentar.gov.ar/newexperi/NOTAS/planetatierra/lunaexploracion.htm</span></strong></a><br />
<br />
<strong><span style="color: yellow; font-size: 17px;">El sistema sexagésimal</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Para medir los ángulos utilizamos el sistema sexagesimal ¿en qué cocnsiste este sistema?. Este sistema ya se conocia en la antigua Babilonia y consiste en dividir un círculo en 360 partes iguales. Cada una de estas partes se denomina grado (º). La cuarta parte, o sea un cuadrante, medirá 90º ¡Sencillo! ¿No?</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Para medir los ángulos se emplea el transportador.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Pero puedes fabricar un "transportador de papel" que te servirá, en casos de emergencia, para medir algunos ángulos. Clic en.</span></strong><br />
<a href="http://www.cientec.or.cr/matematica/origami/transportador.html" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><strong><span style="font-size: 17px;">http://www.cientec.or.cr/matematica/origami/transportador.html</span></strong></a><br />
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<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/transportador1.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: yellow; font-size: 17px;">Construyendo un geoplano</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Tupuedes tocar las líneas, construir tus propios polígonos y con0ocer las áreas de los cuadrados, rectángulos y triángulos... sólo tienes que construir un geoplano.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Necesitas una tabla de unos 30x30 cms. Debes de realizar, con un lápiz, un cuadriculado en la tabla (de 6x6, 7x7x, 8x8, dependiendo del tamaño de la madera que tengas). Luego debes de colocar un clavito en cada una de las intersecciones. Ahora puedes construir los polígonos que desees con ligas de colores... ¡Eso es todo! ¡Sencillo y muy útil!</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
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<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/cuadriculado1.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
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<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Descarga un geoplano virtual en:</span></strong><br />
<a href="http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/article-73593.html" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><strong><span style="font-size: 17px;">http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/article-73593.html</span></strong></a><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Debes de tener el programa Win Zip.</span></strong><br />
<div style="clear: both; line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0.25em;">
</div>
</div>
</div>
<div class="post-footer" style="color: #333333; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: -0.25em;">
<em style="color: #777777; font-style: normal; font: normal normal normal 78%/1.4em 'Trebuchet MS', Trebuchet, Arial, Verdana, sans-serif; letter-spacing: 0.1em; margin-right: 0.6em; text-transform: uppercase;">POSTED BY LEONARDO SANCHEZ COELLO AT <a href="http://poligonos1.blogspot.com/2005/10/introduccina-la-geometra-trminos.html" style="color: #99aadd; text-decoration: none;" title="permanent link">7:39 AM</a></em> <a class="comment-link" href="https://www.blogger.com/comment.g?blogID=17931344&postID=113034429093330102" location.href="https://www.blogger.com/comment.g?blogID=17931344&postID=113034429093330102;" style="color: #99aadd; font: normal normal normal 78%/1.4em 'Trebuchet MS', Trebuchet, Arial, Verdana, sans-serif; letter-spacing: 0.1em; margin-left: 0.6em; text-decoration: none; text-transform: uppercase;">1 COMMENTS</a></div>
</div>
<h2 class="date-header" style="color: #777777; font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: small; font: normal normal bold 78%/1.4em 'Trebuchet MS', Trebuchet, Arial, Verdana, sans-serif; letter-spacing: 0.2em; line-height: 20px; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 1.5em; text-transform: uppercase;">
TUESDAY, OCTOBER 18, 2005</h2>
<div class="post" style="border-bottom-color: rgb(68, 68, 68); border-bottom-style: dotted; border-bottom-width: 1px; color: #cccccc; font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, Verdana, sans-serif; font-size: small; line-height: 20px; margin-bottom: 1.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 1.5em;">
<a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=1526425978181397829" name="112969440408676657"></a><br />
<div class="post-body" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<div style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<div style="clear: both; line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
</div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="left" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 13px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
<strong><span style="color: #3366ff; font-size: 23px;">LOS POLÍGONOS</span></strong></div>
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<div align="left">
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Los polígonos pùeden clasificarse en polígonos regulares y polígonos irregulares.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="center">
</div>
<div align="center">
<br />
<span style="font-size: 23px;"><strong><span style="color: red;">POLÍGONOS REGULARES</span></strong></span></div>
<div align="left">
<br />
<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Un polígono regular es una figura plana y cerrada formada al unir tres o más segmentos rectilíneos. Un polígono regular es aquel cuyos lados y ángulos interiores son todos iguales.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"><br />
¡Construye polígonos regulares!</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"><a href="http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/Policir1.htm" style="color: #99aadd; text-decoration: none;">http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/Policir1.htm</a></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="color: red; font-size: 17px;">LOS CUADRILÁTEROS</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Los cuadriláteros (figuras de 4 lados) son:</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="color: red; font-size: 17px;">EL CUADRADO</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">La fórmula del área del cuadrado es</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">AREA= lado·lado=l2</span></strong><br />
<br />
<br /></div>
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/cuad1.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
<strong><span style="color: red; font-size: 17px;">EL RECTÁNGULO</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">La fórmula del área del rectángulo es</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">AREA= lado·lado=a·b</span></strong><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/rect2.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<strong><span style="color: red; font-size: 17px;">EL PARALELOGRAMO</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">La fórmula del área del paralelogramo es</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">AREA= base·altura=b·h</span></strong><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div align="left">
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/paralelog.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></div>
<br />
<br />
<br />
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<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: black; font-size: 17px;"><strong>Juega con los cuadriláteros:</strong></span><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"><span style="color: red;"><a href="http://www.cnice.mecd.es/Descartes/3_eso/Figuras_geometricas_del_plano/figugeo1.htm" style="color: #99aadd; text-decoration: none;">http://www.cnice.mecd.es/Descartes/3_eso/Figuras_geometricas_del_plano/figugeo1.htm</a></span></span></strong><br />
<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"><span style="color: red;">LOS TRIÁNGULOS</span></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Los triángulos son figuras de tres lados, se clasifican en:</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/triequilat.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<div align="center">
<strong><span style="font-size: 17px;">Triágulo equilátero</span></strong></div>
<div align="center">
<br /></div>
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/triisocel.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<div align="center">
<strong><span style="font-size: 17px;">Triángulo isoceles</span></strong></div>
<div align="center">
<br /></div>
<div align="center">
</div>
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/trirect.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<div align="center">
<strong><span style="font-size: 17px;">Triángulo rectángulo</span></strong></div>
<div align="center">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="font-size: 17px;">Juega con los triángulos:</span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="font-size: 17px;"><a href="http://www.cnice.mecd.es/Descartes/3_eso/Figuras_geometricas_del_plano/figugeo2.htm" style="color: #99aadd; text-decoration: none;">http://www.cnice.mecd.es/Descartes/3_eso/Figuras_geometricas_del_plano/figugeo2.htm</a></span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="font-size: 17px;">¿Y el área de un triágulo?</span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="font-size: 17px;">Tal vez ya has notado que un cuadrado, al ser "partido" por una de sus diagonales, se puede dividir en dos triángulos iguales.</span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="font-size: 17px;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/cuadrado_triangulo.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="font-size: 17px;">Y si dividimos un resctángulo por una de sus diagonales obtenemos dos triángulos iguales.</span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="font-size: 17px;">Por lo tanto el área de un triángulo será:</span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="font-size: 17px;">lado X lado/2</span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="font-size: 17px;">O, escrito de otra manera:</span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="font-size: 17px;">b X h/2 (base por altura dividido entre 2)</span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;">EL PENTÁGONO<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/pentag.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;">EL HEXÁGONO<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/hexag.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;">EL CÍRCULO</span></strong></div>
<div align="left">
<span style="color: black; font-size: 17px;"><strong>Es el lugar geométrico de todos los puntos que conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado centro de la circunferencia.</strong></span></div>
<div align="left">
<strong><span style="color: red; font-size: 17px;">El círculo es la figura geométrica (el plano) y la circunferencia es la línea que encierra al círculo:</span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="font-size: 17px;"><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/circulo21.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></span></strong></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/circulo11.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">En el interior de un círculo encontramos las siguientes figuras:</span></strong><br />
<br />
<br />
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<br />
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<br />
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/circulo3.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">El área del círculo es:</span></strong><br />
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/area_circulo.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">¿Y qué significa <span style="color: red;">π</span>?</span></strong><br />
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">π (pi)= circunferencia/diámetro</span></strong><br />
<br />
<span style="font-size: 17px;"><strong>π (pi) se encuentra entodos los círculos y su valor aproximado es de 3,1416</strong></span><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Los polígonos regulares pueden estar inscritos en un círculo. Vean:</span></strong><br />
<a href="http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/Polici5.htm" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><strong><span style="font-size: 17px;">http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/Polici5.htm</span></strong></a><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<div align="center">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="left">
<strong><span style="color: black; font-size: 17px;">¿Deseas ver los ángulosa dentro de un círculo? Dale un click a:</span></strong></div>
<div align="left">
<a href="http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/Angulos_en_la_circunferencia/Angulos_circunferencia.htm" style="color: #99aadd; text-decoration: none;"><strong><span style="font-size: 17px;">http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/Angulos_en_la_circunferencia/Angulos_circunferencia.htm</span></strong></a></div>
<div align="left">
</div>
<div align="center">
<strong><span style="font-size: 17px;">Los principales polígonos regulares</span></strong></div>
<div align="left">
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/poligonos1.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></div>
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<div align="left">
<span style="color: red; font-size: 23px;"><span style="color: black; font-size: 20px;"></span><strong><img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/estrellas.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /></strong></span></div>
<div align="center">
<strong><span style="color: black; font-size: 17px;">Estrellas formadas con polígonos</span></strong></div>
<div align="center">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
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<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;"></span></strong></div>
<div align="center">
<strong><span style="color: red; font-size: 23px;">LOS POLÍGONOS IRREGULARES</span></strong></div>
<strong><span style="font-size: 17px;">Como su nombre lo indica son figuas planas que no tienen los lados iguales.</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Todo polígono irregular se puede subdivir en triángulos:</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<br />
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<br />
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<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/poligonoirregular2.gif" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
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<br />
<img alt="" border="0" src="http://photos1.blogger.com/blogger/1076/1614/400/poli_irregulares.jpg" style="border-bottom-color: rgb(34, 34, 34); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; border-left-color: rgb(34, 34, 34); border-left-style: solid; border-left-width: 1px; border-right-color: rgb(34, 34, 34); border-right-style: solid; border-right-width: 1px; border-top-color: rgb(34, 34, 34); border-top-style: solid; border-top-width: 1px; display: block; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto; margin-top: 0px; padding-bottom: 4px; padding-left: 4px; padding-right: 4px; padding-top: 4px; text-align: center;" /><br />
<br />
<br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Y, como es lógico, para hallar el área de los polígonos irregulares basta con hallar el área de los triángulos que lo conforman y, luego, sumar dichas área. ¡Sencillo! ¿No?</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="color: red; font-size: 17px;">LOS PERÍMETROS</span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;">Para hallar el perímetro de los pòlígonos (regualres e irregulares) basta con sumar la longitud de sus lados.</span></strong><br />
<div>
<strong><span style="font-size: 17px;"><br />
</span></strong></div>
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong><br />
<strong><span style="font-size: 17px;"></span></strong></div>
</div>
</div>
ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-28255601681485842032011-09-09T10:50:00.000-07:002011-09-09T10:53:01.881-07:00Software libre<span class="Apple-style-span" style="background-color: #214552; font-family: Verdana, sans-serif; font-size: 11px;"></span><br />
<h3 class="post-title entry-title" style="color: #8cdfff; font-size: 17px; font-weight: bold; line-height: 1.4em; margin-bottom: 0.25em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
</h3>
<div class="post-header" style="color: white;">
<div class="post-header-line-1">
</div>
</div>
<div class="post-body entry-content" id="post-body-4075873213629322909" style="line-height: 1.6em; margin-bottom: 0.75em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px;">
</div>
<span class="Apple-style-span" style="background-color: whitesmoke; color: #333333; font-family: arial, sans-serif; font-size: 16px;"><span class="hps">El uso de computadoras</span><span class="">, incluyendo computadoras y</span> <span class="hps">software</span> <span class="hps">específico para</span> <span class="hps">la </span><span class="hps">enseñanza de las matemáticas</span> <span class="hps">ha demostrado ser muy</span> <span class="hps">fructífera</span><span class="">.</span><br /><br /><br /><br /><br /><span class="hps">En</span> <span class="hps">estos enlaces</span> <span class="hps">se pueden encontrar</span> <span class="hps">programas gratuitos que</span> <span class="hps">le ayudará mucho</span> <span class="hps">mientras se divierten.</span><br /><br /><br /><br /><span class="hps">---------</span><br /><br /><span class="hps">GeoGebra</span> <span class="hps">es un software de</span> <span class="hps">matemáticas</span> <span class="hps">dinámicas</span> <span class="hps">para su uso en</span> <span class="hps">el entorno del aula</span><span class="">, que incluye</span> <span class="hps">la geometría</span><span class="">, álgebra y cálculo</span><span class="">.</span><br /><br /><span class="hps">http://www.geogebra.org/cms/</span><br /><br /><span class="hps">--------</span><br /><br /><span class="hps">El</span> <span class="hps">C.a.R.</span> <span class="hps">es un programa de</span> <span class="hps">geometría dinámica</span><span class="">.</span><br /><br /><span class="hps">http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/doc_en/index.html</span><br /><br /><span class="hps">--------</span><br /><br /><span class="hps">El</span> <span class="hps">papa</span> <span class="hps">caliente</span> <span class="hps">herramienta</span> <span class="hps">para la creación de</span> <span class="hps">pruebas en línea</span> <span class="hps">y ejercicios interactivos.</span><br /><br /><span class="hps">http://web.uvic.ca/hrd/hotpot/</span><br /><br /><span class="hps">-------</span><br /><br /><span class="hps">Deja tu comentario</span> <span class="hps">aquí sobre el</span> <span class="hps">software relacionado</span><span class="">, así como sugerencias</span><span class="hps">para otros programas.</span></span>ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-26578587178542405862011-09-09T10:34:00.000-07:002011-09-09T10:54:45.357-07:00Los pecados capitales del profesor de matemática<br />
<div class="MsoNormal">
<strong><u><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 11pt;">I. Presentación</span></u></strong><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El profesor Aquiles Páramo quien trabaja hace más
de 15 años como profesor de <st1:personname productid="la Universidad" w:st="on">la
Universidad</st1:personname> de Los Andes y quien está vinculado desde hace
unos 8 años aproximadamente a su Departamento de Matemáticas. El profesor
Páramo ha sido el coordinador de este Seminario sobre <st1:personname productid="la Did£ctica" w:st="on">la Didáctica</st1:personname> de las
Matemáticas y ha preparado para esta ocasión, que es la última de este
semestre, una exposición sobre los que él considera que son los errores más
comunes entre los profesores de Matemáticas.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;">
</span><br />
<hr align="center" color="#a7a6aa" noshade="" size="2" width="100%" />
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;">
</span></div>
<div class="MsoNormal">
<strong><u><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 11pt;">II. Resumen de la exposición</span></u></strong><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Para
la última sesión de este Seminario sobre Didáctica de las Matemáticas, he
querido preparar una exposición sobre los errores que yo considero que son los
más señalados y frecuentes entre los profesores de matemáticas. Me dio por
llamarlos “Los pecados capitales del profesor de Matemáticas” y, según me han
dicho, son siete. Si lo hice así, sólo fue para ponerle algo de picante a lo que
voy a decir. No es mi intención tener una actitud inquisitoria o condenatoria
sobre la labor que desarrollamos a diario. Simplemente quiero hablar un poco
sobre la pedagogía de las matemáticas y compartir con ustedes algunas de mis
ideas. Estoy plenamente consciente de que uno de los pecados, quizás veniales,
que fácilmente cometemos algunos profesores consiste en considerar que hay un
método único para enseñar y sé que esto es falso. La forma de enseñar es
completamente personal y está muy ligada a la creatividad individual de cada
cual, pues tiene que ver con la manera particular en que cada profesor expresa
en el aula lo que es. No creo posible por lo tanto establecer unos parámetros
fijos para enseñar.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><u><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;"><br />
<strong><span style="font-family: Arial;">1. El profesor “cuchilla”</span></strong></span></u></b><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Para
comenzar, me parece muy desafortunado que la imagen generalizada que tiene la
gente común y corriente sobre el profesor de matemáticas sea más bien negativa,
al menos aquí en Colombia. En efecto, en nuestro país se tiene la idea de que
este profesor es alguien que se la pasa "rajando" a los estudiantes,
que disfruta inspirándoles terror, que vive proponiendo acertijos y problemas
dificilísimos, que explica cosas que nadie puede entender y que exige un
rendimiento imposible de alcanzar. A este respecto la siguiente anécdota es
bastante diciente. Hace un tiempo me subí a un taxi después de salir de <st1:personname productid="la Universidad" w:st="on">la Universidad</st1:personname> y el
conductor, viendo mi atuendo y mi maletín, me preguntó: “Usted es profesor, ¿no
es así? ¿Qué enseña?”. Le respondí: “Soy profesor de matemáticas”. Entonces me
dijo: “¡Ah, usted es el cuchilla!” y me endilgó, así no más, ese epíteto que me
disgusta y que no me merezco.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">¿Qué
es lo que entiende la gente común con la expresión “profesor cuchilla”? Creo
que alude a un profesor que no le perdona ningún error a un estudiante, un
profesor que se complace poniendo bajas calificaciones, que es excesivamente
exigente con sus alumnos, que le da “matarile” a todo el mundo y que no deja
pasar ni un signo. Es una expresión de carácter violento, que habla de un
profesor que humilla con sus burlas a sus estudiantes y que los hace sentir
poca cosa. Los hace sentir brutos y les inspira temor.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Esta
imagen que tiene la gente del profesor de matemáticas es lamentable y lo peor
de todo es que somos los mismos profesores de matemáticas los que la hemos ido
forjando con nuestras actitudes erróneas. Me consta que en muchas escuelas de
nuestro país, en colegios de bachillerato e incluso en algunas universidades
hay profesores así, que se burlan de sus estudiantes, los hacen sentir brutos y
los llenan de miedo. Eso está mal y es muy grave y por eso considero que es el
pecado capital más grande de todos. Cuando un profesor humilla a un estudiante
o cuando se burla de él, le está cerrando sus posibilidades intelectuales. El
alumno que es motivo de repetidas burlas y que tiene que enfrentar un fracaso
tras otro, comienza a creer que no es capaz de resolver problemas, que no puede
plantear ninguna ecuación y le empieza a parecer imposible entender el lenguaje
matemático que -recordémoslo- es el lenguaje de la ciencia y la tecnología, es
decir, el lenguaje del desarrollo. Termina viendo en las matemáticas algo
odioso e inalcanzable y empieza a detestarlas. De esta manera, el profesor
“cuchilla” se convierte en un promotor más del subdesarrollo de nuestro país.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Por
supuesto, todo esto es diametralmente opuesto a las matemáticas mismas porque
esta ciencia, bien lo sabemos, es el estudio de todo lo posible. Las
matemáticas están llenas de la imaginación más desbordada. Piensen, por
ejemplo, en Cantor y en sus descubrimientos sobre el infinito. Él encontró que
hay conjuntos infinitos que son más numerosos que otros conjuntos infinitos y
al hacer este hallazgo dio muestras de ser todo un visionario, alguien que fue
capaz de ver más allá del infinito. Lo mismo puede decirse de las geometrías no
euclidianas que nacieron de la indagación lógica de las posibilidades del
espacio. Por eso digo que el profesor “cuchilla” es la antítesis del
matemático: en lugar de abrir la mente de sus estudiantes hacia el mundo de las
posibilidades, les cierra las puertas a la imaginación.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Para
mí, el buen profesor de matemáticas debe ser amable, benévolo y comprensivo. Si
un estudiante se equivoca en un signo, si comete un error en el tablero, debe
tener en cuenta que cualquiera puede equivocarse (<em><span style="font-family: Arial;">errare humanum est</span></em>), debe recordar que él mismo yerra muchas
veces al resolver una ecuación o un problema geométrico. Al mismo tiempo debe
estimular al estudiante cuando éste acierta, felicitarlo por sus logros, hacer
que se sienta feliz y orgulloso cuando encuentra la solución de un problema
difícil y retarlo para que enfrente problemas de mayor dificultad.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Me
pregunto por qué se da en los salones este personaje del profesor “cuchilla”.
No sé muy bien, pero me parece que tiene que ver con algún problema personal
que está afectando o perturbando al profesor, quiero decir, una situación
familiar de gran tensión, un problema laboral, un fracaso personal. Todas estas
cosas pueden generar en el profesor una actitud de agresión contra sus estudiantes.
Si el profesor está aproblemado y ha tenido que aguantar humillaciones fuera
del salón, es posible que trate de compensar sus frustraciones actuando con
superioridad contra sus estudiantes. Por eso, el buen profesor debe estar
vigilando constantemente sus propios estados de ánimos, debe reflexionar
permanentemente sobre sí mismo, debe dedicarle tiempo al autoconocimiento, para
poder delimitar muy bien el campo de su trabajo del campo de sus problemas
personales. En esto el buen profesor debe emular el trabajo de los psicólogos.
Recordemos que un psicólogo bien entrenado puede tener muchos problemas en su
casa o en su familia, pero ante su paciente sabe mantener una actitud tranquila
y estable que le permite ser objetivo. Así mismo el buen profesor una vez que
entra al salón y cierra la puerta, deja por fuera todos sus problemas
personales y se dedica a su labor docente de una manera apacible, equilibrada y
bondadosa.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<strong><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;">2.</span></strong><span class="apple-converted-space"><b><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;"> </span></b></span><strong><u><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;">El profesor “libro”</span></u></strong><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Pasemos
al segundo pecado, que es el del profesor “libro”. Es un profesor que llega al
salón de</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">clase
y recita el libro de texto o por decirlo mejor, vacía en el tablero todos sus
contenidos. Escribe los teoremas importantes, hace las demostraciones sin que
falte una coma y da unos pocos ejemplos. Muchas veces escoge los ejemplos
límite para ilustrar los conceptos teóricos. Por citar un caso, expone la
noción de intersección entre dos conjuntos y después ilustra su explicación
poniendo el siguiente ejemplo: “vacío intersección vacío igual vacío” y se
acabaron los ejemplos. Es posible que el profesor “libro” sea un gran
matemático, pero un gran matemático no es necesariamente un gran profesor. Es
frío y muy serio. Entra a la clase sin mirar a nadie, escribe en el tablero
dándoles la espalda a los estudiantes y habla sin mucha energía. Luego sale del
salón. Se mantiene distante. Parece como si siempre estuviera concentrado en
sus problemas matemáticos.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">A
mí me parece que el profesor “libro” tiene el defecto de que no se preocupa de
que sus estudiantes entiendan. El siguiente cuento es popular entre profesores
y es bien ilustrativo al respecto. Una persona pone a la venta un perro y le
fija un gran precio diciendo que ese perro se sabe <st1:personname productid="la Filosof■a" w:st="on">la Filosofía</st1:personname> de Aristóteles
pues él se la ha ensañado. Otra persona se lo compra y después de un tiempo le
dice: “hombre, el perro está bien, está grande y sano, pero no he visto que
sepa nada de <st1:personname productid="la Filosof■a" w:st="on">la Filosofía</st1:personname>
de Aristóteles”. “Pues qué extraño -le replica el otro-, porque yo le leí todos
los libros de Aristóteles cuando se quedaba acompañándome por las noches junto
a la chimenea”. Eso le pasa al profesor “libro”. Puede que él copie en el
tablero todos los contenidos del libro, sin que falte ni una coma, pero no se
preocupa de que sus estudiantes entiendan y por eso su clase sale mal. Se le
olvida que el trabajo del profesor no consiste solamente en emitir información,
sino que debe asegurarse de que la información sea bien captada.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Un
buen profesor tiene un sentido muy agudo, una sensibilidad muy desarrollada,
para captar si su auditorio le está poniendo atención. No sé, pero las miradas
de los estudiantes, sus comentarios, sus preguntas, sus risas, su actitud en
general, el silencio que hacen a veces, le dicen al profesor si están captando
y entendiendo lo que él está diciendo. El profesor debe procurar hacer
preguntas, animar la clase, sorprender de tanto en tanto a sus estudiantes con
comentarios extraños y sobre todo aplicar el viejo método socrático de <st1:personname productid="la May←utica. Scrates" w:st="on">la Mayéutica. Sócrates</st1:personname>
hacía preguntas y mediante esas preguntas inducía en su interlocutor el parto
del conocimiento. Un buen profesor puede hacer, por ejemplo, que un estudiante
resuelva el problema de convergencia o divergencia de una serie, guiándolo con
sus preguntas, haciéndole sugerencias, mostrándole casos análogos, comentándole
las implicaciones de sus equivocaciones, hasta que finalmente el estudiante “
alumbra” con la solución del problema. Además el profesor debe saber
contextualizar las cosas que explica. No se trata de copiar el contenido del
libro. Hay que contextualizarlo. Sirve mucho, por ejemplo, hacer un comentario
histórico al presentar una noción o hacer un ver cómo esa noción se relaciona
con otros campos. Un estudiante no sólo necesita información. Necesita también
conocer cuáles son las conexiones de esos datos con otras cosas. Esto hará que
el estudiante le halle sentido a lo que está aprendiendo. El sentido de las
cosas se adquiere cuando se adquieren conexiones de unas cosas con otras.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Me
parece increíble que un profesor esté dictando clase y sus estudiantes estén
distraídos haciendo otras cosas. Eso es frecuente en los famosos cursos
magistrales. El profesor Andrés Villaveces me contó que estando una vez en la
prestigiosa Universidad de Carnegie Mellon, vio que un profesor dictaba una
clase magistral al parecer de Historia de las Matemáticas, pero mientras
explicaba una por una las diapositivas que iba proyectando en una pantalla
gigante, la mitad de sus estudiantes estaban con sus portátiles abiertos,
jugando en los computadores, consultando Internet o contestando sus correos
electrónicos. Me pregunto, ¿cómo es posible que un profesor de Historia de las
Matemáticas no sea capaz de percibir que más de la mitad de sus estudiantes no
le están prestando atención?</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<strong><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;">3.</span></strong><span class="apple-converted-space"><b><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"> </span></b></span><strong><u><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;">El profesor “madre”</span></u></strong><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"> </span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Como ya estamos
aburridos con el profesor “libro”, pasemos mejor al profesor “madre”, que es el
tercero de los pecados que quiero comentar hoy. He utilizado esta expresión
porque es de uso corriente entre los estudiantes. A veces se les oye decir,
refiriéndose a tal o cual profesor, que es un profesor “madre” o simplemente
que “es una madre”. Pero quiero advertir que no es mi propósito promover ni
fomentar al utilizar este modo de decir ningún cliché respecto del padre o la
madre. La gente suele entender que la figura paterna es exigente y que la figura
materna es condescendiente y comprensiva aunque en la realidad seguramente las
cosas no son así: hay madres muy autoritarias y exigentes y a la vez hay padres
muy comprensivos.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Un
profesor “madre” es un profesor muy condescendiente, que no les exige grandes
esfuerzos a sus estudiantes. Con él es muy fácil pasar. A veces ni siquiera es
necesario asistir a todas sus clases. No exige ningún esfuerzo. Suele perdonar
los errores de los estudiantes, así sean estos muy grandes. Hace un examen y si
algunas preguntas resultan muy difíciles de contestar para los estudiantes,
dice:“He decidido que estas preguntas no valen”. Con estas actitudes la pereza
y la ley del mínimo esfuerzo se enseñorean del curso. El profesor pone muy
buenas notas aunque los trabajos presentados por sus estudiantes no son
demasiado brillantes. Por eso al profesor “madre” le dicen también profesor
“cuatrero”, ya que las calificaciones que pone siempre son de cuatro para
arriba.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Me
pregunto qué es lo que hay detrás de un profesor “madre”. ¿Por qué este
profesor deja a un lado algo tan importante para la pedagogía como la
exigencia? ¿Por qué no es capaz de crear un ambiente que resulte estimulante y
desafiante para el alumno? He pensado en ello y creo que el profesor “madre” se
produce cuando hay de por medio sentimientos de culpa. Estoy pensando en un
profesor que falta a menudo a sus clases, que continuamente llega tarde al
salón, que se atrasa mucho en la entrega de los parciales corregidos y que no
prepara suficientemente bien las clases que dicta. Todas estas conductas, todas
estas faltas de responsabilidad, generan en él grandes remordimientos y sus
estudiantes saben aprovecharlos muy bien. Le hacen chantaje emocional y lo
manipulan afectivamente para les perdone sus faltas. Si el profesor no cumple
en su trabajo, no puede exigir que sus alumnos cumplan.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Lo
último que quiero decir a este respecto es que cuando un profesor no exige
esfuerzo, el estudiante se aburre, se desmotiva. Le parece que la materia que
está tomando con él es demasiado fácil y termina fastidiándose porque se da
cuenta de que no le está aportando gran cosa.<span class="apple-converted-space"> </span>Todo
el mundo recuerda aquellas materias en las que se trabajó duro, en las que se
aprendió, en las que había que hacer un esfuerzo considerable para pasar. En
cambio, casi no se recuerdan aquellas materias que resultaban muy fáciles.
Éstas no dejan ninguna huella pues no tienen la fuerza necesaria para arañar.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<strong><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;">4.</span></strong><span class="apple-converted-space"><b><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;"> </span></b></span><strong><u><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;">El profesor “pavo
real”</span></u></strong><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Pasemos
ahora al pecado del profesor “pavo real”. La denominación es invención mía y
alude básicamente a un profesor que se luce en el salón, a un profesor que se
pavonean con su inteligencia frente a sus estudiantes. Generalmente es un
profesor joven que apenas está comenzando y por eso podríamos decir que es un
pecado de juventud, aunque para ser francos hay profesores viejos que se quedan
con la maña.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Una
vez que entra al salón de clase, a este profesor le queda muy difícil exponer
las cosas de la manera más sencilla posible. Supongamos, por ejemplo, que este
profesor expone el tema de la integral por sustitución. Hay algo que le impide
poner ejercicios muy simples en los que la sustitución es evidente. Prefiere
traerles a sus estudiantes unas cuantas “joyas”, de ésas que requieren que se
haga un tratamiento algebraico previo, sofisticado e ingenioso, antes de que se
pueda medio entender cuál puede ser la sustitución más adecuada en cada caso.
Los estudiantes miran alelados al profesor “pavo real” que saca fórmulas y
aplica trucos para resolverlas las integrales y empiezan a creer que el cálculo
integral es cosa de prestidigitadores. El profesor se ufana ante ellos con sus
malabares algebraicos y quizás se siente feliz de la admiración que suscita
entre sus alumnos.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Pero
las cosas no son así. En realidad, lo único que sienten sus estudiantes es que
están confundidos. Además sienten temor porque piensan en las integrales que el
profesor va a poner en los parciales. Preocupados comentan con sus compañeros
de otros grupos: “Ese profesor pone unas integrales que sólo él logra resolver,
muy difíciles”. Se desmotivan y no aprenden.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">La
pedagogía mal entendida se presta para exista el fenómeno del profesor “pavo
real”, pues al fin y al cabo dar una clase es una ocasión para que a uno lo
miren, para que a uno lo escuchen. Ofrece la oportunidad de ejercer cierto
protagonismo. Pero en esto no se puede exagerar. La clase no es para lucirse,
no es para ufanarse ante los alumnos de que uno puede resolver las integrales
más difíciles o de que puede encontrar los trucos argumentativos más elegantes
en una demostración. La clase es para enseñar cosas, las cosas de siempre, y
para hacerlo con humildad de la manera más sencilla posible.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<strong><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;">5.</span></strong><span class="apple-converted-space"><b><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;"> </span></b></span><strong><u><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;">El profesor “neblina”</span></u></strong><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El
quinto pecado es el del profesor “neblina”, al que he llamado así porque sus
explicaciones son tan confusas y tan oscuras, que sus estudiantes no logran
comprender absolutamente nada. Es un expositor vago, impreciso, que no logra
hacerse entender. Le falta preparación como profesor. No domina los lenguajes
necesarios para ejercer su labor con eficiencia. Con él, uno se siente como
cuando se conduce un automóvil entre la niebla. No se sabe muy bien por dónde
sigue el camino, ni dónde uno se encuentra, ni cómo salir de allí.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Un
buen profesor no pierde de vista que dar una clase es ante todo un asunto comunicativo,
un asunto de lenguaje. Más exactamente, una buena clase es un espacio donde
confluyen gran cantidad de lenguajes, una amalgama lingüística, por decirlo
así. Quiero exponer a continuación una pequeña lista que hice a vuela pluma de
los lenguajes más utilizados por el profesor de matemáticas durante sus clases.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<em><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El español hablado</span></em><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">. El profesor debe hablar su lengua con
corrección, utilizando una buena dicción y una entonación agradable. Sus
palabras deben ser muy bien escogidas y la redacción de sus frases debe ser
fluida y coherente. Además la estructuración conceptual de la clase debe ser
clara y equilibrada. La correcta pronunciación de los sonidos es muy importante
para que los estudiantes entiendan lo que dice.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<em><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El español escrito</span></em><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">. Cuando el profesor escribe en el tablero debe
utilizar una letra apropiadamente grande y de mucha legibilidad. Su ortografía
debe ser irreprochable en todos sus aspectos: desde el uso correcto de las
letras hasta los detalles de las tildes, el manejo de minúsculas y mayúsculas y
los asuntos de la puntuación. Esto se aplica igualmente al caso de los
comentarios que el profesor escribe en las correcciones de los parciales, en
los mensajes electrónicos que les envía a sus alumnos y en los los materiales
audiovisuales que el profesor prepara, pues todo esto contribuye a que el
estudiante le entienda con facilidad.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<em><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El lenguaje gestual</span></em><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">. El buen profesor gesticula acertadamente
mientras dicta sus clases. Puntualiza sus ideas con las manos, con los
movimientos de sus brazos y de sus músculos faciales. Sabe cuándo debe
aproximarse a sus estudiantes y cuándo debe alejarse de ellos. Varias veces se
ha dicho con justa razón que el salón de clases es una especie de escenario
teatral y el profesor un actor que debe sacar provecho de los recursos que
proporciona la expresión corporal.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<em><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El lenguaje matemático escrito</span></em><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">. En particular, el profesor de
matemáticas debe dominar el lenguaje formal de las matemáticas. Sabe escribir
las fórmulas muy bien en el tablero, con cuidado y elegancia, y no olvida abrir
o cerrar ningún paréntesis. Maneja con fluidez la simbología general de las
matemáticas, con sus letras latinas, sus letras griegas, sus caracteres góticos
y hebreos. Debe conocer además otras notaciones alternativas que, aunque no
están universalizadas, aparecen de tanto en tanto en la bibliografía.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<em><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El lenguaje matemático hablado</span></em><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">. El buen profesor de matemáticas sabe
leer adecuadamente sus fórmulas. Conoce el nombre de las letras griegas y de
las señales diacríticas. Dice los teoremas con corrección y emplea
adecuadamente los giros lingüísticos que son característicos del lenguaje
hablado de los matemáticos.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<em><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El lenguaje gráfico</span></em><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">. Muy a menudo será necesario que el profesor
explique sus ideas haciendo gráficas y dibujos en el tablero, sobre todo,
cuando se tocan temas relacionados con la geometría. En esos casos el profesor
debe hacer las gráficas muy bien. Debe trazar los ejes coordenados, marcarlos
adecuadamente. y hacer juiciosamente el trazado de las curvas. Se tomará el
tiempo necesario para rayar una región del plano y utilizará distintos colores
para poder destacar los elementos importantes de un problema. Sabrá utilizar
unas veces líneas continuas y otras veces líneas punteadas. Indicará ciertas
puntos mediante flechas y subrayará otras encerrándolas en redondeles.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<em><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Otros idiomas</span></em><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">. El buen profesor pronunciará lo mejor posible los términos
foráneos ylas frases citadas en otro idioma que a veces aparecen en sus clases
y así mismo hará con los nombres propios de los científicos extranjeros.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El
dominio de todos estos lenguajes hará que las nubes que envuelven al profesor
“neblina” desaparezcan por completo y que sus estudiantes empiecen a
considerarlo como un profesor muy claro, al que todo se le entiende. Y es que
al profesor de matemáticas no le basta con saber mucho de matemáticas, tiene
que ser también un magnífico comunicador.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<strong><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;">6.</span></strong><span class="apple-converted-space"><b><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;"> </span></b></span><strong><u><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;">El profesor
“eficiencia”</span></u></strong><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El
profesor “eficiencia” es aquel que cree que basta con ser eficiente en la
enseñanza para ser un gran profesor. En realidad no se trata de un pecado de
acción. Más bien es un pecado de omisión. Hace varios años almorzando con mi
padre, el profesor Jorge Páramo Pomareda, quien fue un gran maestro aquí en <st1:personname productid="la Universidad" w:st="on">la Universidad</st1:personname> de Los
Andes, cometí el error de ufanarme ante él de ser un profesor eficiente. Le
dije. “Cojo un grupo de estudiantes y en tan sólo quince días puedo hacer que
un dominen a la perfección, por ejemplo, los métodos para derivar funciones”.
Entonces él me miró, me sonrió con cierta sorna y me dijo. “Bueno, la
eficiencia es parte de la enseñanza, pero eso no lo es todo. Es apenas una
parte y quizás no es la parte más importante. Hace falta un elemento esencial y
misterioso, un elemento que no se puede medir ni explicar con exactitud y que
se resume en ser un verdadero maestro. Alguien que va más allá de enseñar a
derivar, de enseñar a integrar o de enseñar aplicar con eficiencia unos
procedimientos algebraicos. Alguien que transmite unos valores muy importantes,
pero no porque los diga expresamente, sino porque los enseña con su ejemplo,
con su actitud especial y única en el salón de clase, con la forma en que
responde a las inquietudes de sus estudiantes, con la manera en que prepara y
desarrolla sus clases. El gran maestro deja una huella indeleble en sus
alumnos. Les otorga muchos tesoros. Les transmite la pasión por el
conocimiento, la honestidad intelectual, la claridad del pensamiento, la
sensibilidad por la belleza matemática. y muchas otras cosas por el estilo, que
son inestimables. Trasmite, por decirlo así, unos ideales. Los estudiantes
reconocen en el gran maestro una guía, lo quieren entrañablemente como persona
, lo emulan y lo admiran por lo que vale como profesor o como investigador. Ya
verá que con el tiempo, con la dedicación al trabajo docente, con la
experiencia que dan los años, usted logrará poco a poco convertirse en un gran
maestro y dejará de creer que lo importante es la eficiencia”. Después de oírlo
yo me quedé pensando “Ojala” y lo sigo pensando todavía.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Los
que piensan que la enseñanza es solamente un asunto de eficiencia no van en el
camino correcto. La pedagogía no es simplemente una técnica que pueda manejarse
con los parámetros del ingeniero industrial. El profesor no es un recurso más
de la maquinaria educativa, ni el estudiante puede ser visto como un producto
que se somete a un proceso de fábrica. Ambos son seres humanos y en tanto que
tales son esencialmente misteriosos y asombrosos. La verdadera pedagogía nace
del milagro comunicativo que forjan ellos dos. La relación estudiante profesor
es un punto de encuentro lleno de misterio y lleno de luz.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<strong><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;">7.</span></strong><span class="apple-converted-space"><b><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;"> </span></b></span><strong><u><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 14pt;">El profesor “papeleo”</span></u></strong><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El
séptimo pecado es el último y le pertenece al profesor “papeleo”, que es un
profesor netamente pragmático. Es aquel que cree que enseñar matemáticas es
enseñar a pasar exámenes de matemáticas. Digamos que se limita a entrenar a sus
estudiantes para que puedan pasar todas las pruebas necesarias para lograr
obtener un título profesional. Tiene una filosofía en la que predomina lo que
es útil para la vida. Lo que le importa es que el estudiante pueda cumplir con
los requisitos del sistema educativo. En cierta forma es un engranaje más del
sistema y ayuda a mover la maquinaria de los papeleos de la burocracia
generalizada. Digámoslo crudamente: ayuda a completar un papel.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El
buen profesor tiene claro que eso es lo de menos. Que si se abolieran los
títulos, que si se quitara el sistema de notas y de evaluaciones, que si los
diplomas dejaran de existir de una buena vez, de todas maneras subsistiría la
pedagogía, porque ésta no puede quitarse. Es innata al ser humano. En la
enseñanza está una de las formas más nobles de que dispone el ser humano para
transmitir, conservar y desarrollar los tesoros del conocimiento. Los legados
de los científicos, de los grandes matemáticos, de los poetas, de lo sabios. Es
uno de los medios que tiene el ser humano para luchar contra el olvido.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Para
terminar, quiero contarles algo muy personal. Cuando nació mi nieto, me esperé
6 largos años, guardando en mi escritorio una lupa grande que de vez en cuando
le mostraba y le dejaba coger, hasta que una mañana, llena de sol, llena de
luz, lo llamé y le dije que saliéramos al jardín. Allí le enseñé cómo se puede
hacer fuego concentrando los rayos del sol en un punto candente. Él se asombró
muchísimo y cuando entendió ese sencillo milagro que estaba sucediendo, me miró
con una sonrisa, clara y bella, en la que me mostraba toda la infinita
dimensión del ser humano. Yo me sentí feliz como siempre que enseño y él salió
corriendo a buscar a sus amigos para enseñarles a otros lo que acaba de
aprender. Esa hermosa mañana resume todo lo que pienso de la pedagogía.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">
</span><br />
<hr align="center" color="#a7a6aa" noshade="" size="2" width="100%" />
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">
</span></div>
<div class="MsoNormal">
<strong><u><span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;">III. Relatoría de la discusión</span></u></strong><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: #cc0000; font-family: Arial; font-size: 11pt;">D</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">espués de la exposición
anterior el profesor Alfredo Uribe Ardila, de Bioquímica, dijo que a los
profesores de física, de química, de biología también les aplican el adjetivo
de “cuchillas” y que por lo tanto ése no es un mote exclusivo de los profesores
de matemáticas. Y añadió que cree que la gente se refiere a que son muy
exigentes. No solamente a que rajan a sus estudiantes poniéndoles malas
calificaciones. El profesor Aquiles Páramo, entre chiste y chanza, le pidió
disculpas por haberse apropiado para los profesores matemáticos de la ingrata
denominación de profesores “cuchilla”.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El
profesor Hernando Echeverri intervino luego para decir que había que considerar
el asunto del fantasma detrás del tablero. Según él las malas experiencias que
un profesor pudo haber tenido con otros profesores cuando le enseñaron tienden
a ser repetidas. Quizás por eso a veces hay profesores que humillan a los
estudiantes y los tratan mal. Están repitiendo viejas experiencias negativas.
Claro que también imitan las positivas, emulando a antiguos y buenos profesores
que admiraron en su momento y eso está muy bien. Habló entonces de la
importancia de que los profesores hagan un poco de psicoanálisis. Tal vez así
logren exorcizar a sus fantasmas que tienen detrás del tablero. El profesor
Aquiles Páramo estuvo de acuerdo con él y agregó que enseñar matemáticas no era
sólo una cuestión de transmitir información, de exponer unos contenidos
matemáticos. El profesor es una persona, con afectividad y emociones, que se
manifiesta como tal en el salón de clase y al que le concierne hacer ese tipo
de reflexiones de autoanálisis.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El
profesor Rolando Roldán, actual Decano de <st1:personname productid="la Facultad" w:st="on">la Facultad</st1:personname> de Ciencias,
dijo refiriéndose a la experiencia relatada sobre Carnegie Mellon que no está
conforme con las opiniones expuestas pues se pregunta si no estamos asistiendo
a la aparición en los jóvenes de una nueva mentalidad. Una forma moderna de
pensar. Señaló que los muchachos pueden hacer varias cosas al mismo tiempo.
Pueden atender a una clase mientras están conectados al computador (juegos,
Internet, correo electrónico). Según él, a nosotros nos cuesta creerlo, pero es
así y deberíamos modernizarnos. Contó que una vez quiso hablar con uno de sus
hijos pero él no se despegaba del computador: “¡Póngame atención!”, le reclamó
y el muchacho simplemente le contestó: “Pero, papá, le estoy poniendo
atención!” Desde entonces cree que los muchachos tienen una forma de
administrar sus facultades intelectuales que es quizás distinta de la nuestra.
El profesor Carlos Montenegro complementó esta opinión diciendo que eso sería
como “caminar y mascar chicle al mismo tiempo”.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El
profesor Palacios dijo que le parece muy importante que los profesores les
hagan preguntas a sus estudiantes para ver si están poniendo atención y si
están captando lo que se les enseña. El profesor Alfredo Uribe Ardila, de
Bioquímica, contó a este respecto que una vez tenía dos alumnas muy distraídas.
Parecían estar ocupadas en otra cosa. Sin embargo, una de ellas estaba captando
todo lo que él estaba diciendo a juzgar por las respuestas que le daba. Contó
además que para que los estudiantes le pongan atención les pide a veces que lo miren
directamente a los ojos.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El
profesor Jorge Palacios tomó la palabra y le dio un giro distinto al debate
pues dijo que uno de los pecados que no se nombraron se produce cuando un
profesor tiene preferencias entre los estudiantes. Eso desanima a los demás. El
profesor debe ser justo e imparcial en este campo. El profesor José Huberto
Giraldo intervino entonces para señalar otro pecado que había faltado comentar.
Según él es frecuente que los profesores, entre ellos, a espaldas de sus
estudiantes, se quejan o se burlan los errores que cometen sus alumnos. Muchas
veces oye a sus colegas lamentándose de que sus estudiantes no entienden por
más que se les explica o de lo mal preparados que llegan a sus cursos. Y
terminó diciendo algo que, según él, parece una perogrullada pero que a menudo
se pasa por alto: si los alumnos supieran, no tendría sentido nuestro trabajo
pues no tendríamos nada que enseñarles.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">El
profesor Eduardo Ramírez intervino para decir que a él le parece todos hemos
caído en los pecados capitales que fueron mencionados en este del Seminario.
Nadie es perfecto, dijo, y un buen profesor busca el equilibrio, alternando
momentos de exigencia y momentos de comprensión. Concluyó diciendo que a partir
de todos los defectos mencionados es como se hacen los buenos profesores.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Para
terminar el profesor José Ricardo Arteaga dijo que había hecho falta nombrar
dentro de los lenguajes que debe maneja un buen profesor en el salón de clase,
el lenguaje de las nuevas tecnologías: los computadores, el software educativo,
el Internet.</span><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 8.5pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<o:p><strong><span style="color: black; font-family: Arial; font-size: 11pt;">Aquiles Páramo</span></strong></o:p></div>
ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-62065214388965354602011-09-09T10:20:00.000-07:002011-09-09T10:26:03.824-07:00<h1 align="center" style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">-DE LA ARMONÍA DE LA NATURALEZA A LA DE LA ARQUITECTURA-</span></h1>
<div align="center" style="color: #663300;">
<h2 align="center">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">CARLOS CALVIMONTES ROJAS</span></h2>
</div>
<div style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><br />
<img align="left" height="205" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/01DOMOEXAPENTA.jpg" width="236" /></span><span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><i>El 'domo exapenta' tiene una forma prácticamente semiesférica generada por la presencia armonizadora de pentágonos en conjuntos de exágonos, que pueden estar respectivamente reticulados por triángulos isósceles y equiláteros. Esa forma, que responde con relevantes condiciones estéticas, constructivas y estructurales a la doble exigencia arquitectónica de encerrar y cubrir espacios, tiene su contraparte en otras existentes en la Naturaleza, representadas por el paradigma geométrico del icosaedro truncado de la molécula gigante del carbono 60 y por la extraordinaria belleza de los radiolarios.</i></span></div>
<div style="color: #663300;">
<br /></div>
<blockquote style="color: #663300;">
<h3>
</h3>
</blockquote>
<div style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"></span><span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><img align="left" height="241" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/02ACTINOMMA.jpg" width="236" /><span style="font-size: x-small;"><i>Convencionalmente se denomina exapenta al icosaedro truncado y a otros poliedros formados por un mayor número de exágonos y pentágonos regulares, que se muestran en la Naturaleza y en la obra humana en sendas extensas variedades por la diferencia entre el número de esas dos figuras geométricas en cada cuerpo. Sin embargo, existe un patrón común en la configuración de todos esos poliedros, determinada por la consonancia existente entre exágonos y pentágonos que tienen la misma longitud de sus lados por ser éstos comunes entre ambas figuras: la relación de sus apotemas está definida por el Número de Oro.</i></span></span></div>
<div style="color: #663300;">
<br /></div>
<div style="color: #663300;">
<br /></div>
<blockquote style="color: #663300;">
<blockquote>
<blockquote>
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif;"></span></blockquote>
</blockquote>
<h4>
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">EL NÚMERO DE ORO EN LA ARMONÍA DE LO CREADO</span></h4>
</blockquote>
<div style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><img align="left" height="307" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/03RETICULUM.jpg" width="236" /><span style="font-size: x-small;">En un mismo campo fenoménico, dos cosas de la misma especie pero de diferente magnitud armonizan si entre ellas se manifiesta el Número de Oro (o su figura emblemática, el pentágono), módulo de la relación de consonancia en ese relativo desequilibrio característico de lo que tiene vida, la tuvo o tiende a ella, y de lo que ha tenido o tiene movimiento molecular, como en las estructuras dinámicas, en contraposición a la predominancia del exágono en lo inerte que tiene el equilibrio cristalino propio del mundo mineral.</span></span></div>
<div style="color: #663300;">
<br /></div>
<div style="color: #663300;">
<br /></div>
<div style="color: #663300;">
<br /></div>
<h4 style="color: #663300;">
</h4>
<h4 style="color: #663300;">
</h4>
<div style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><img align="left" height="260" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/04ALGA.jpg" width="236" /><span style="font-size: x-small;">Sin embargo, en la infinidad de formas geométricas existentes en las obras de la Naturaleza, no hay una polaridad entre aquellas cosas que muestran la presencia o traducen las proporciones de pentágonos y otras que están impregnadas por exágonos o sus derivaciones; hay unas terceras donde coexisten ambas figuras o sus proporciones, en manifestaciones de lo vivo y lo inerte, lo dinámico y lo estable, lo orgánico y lo inorgánico, lo que tiene mayor o menor entropía.</span></span></div>
<div style="color: #663300;">
<br /></div>
<div style="color: #663300;">
<br /></div>
<div style="color: #663300;">
<br /></div>
<blockquote style="color: #663300;">
<blockquote>
<br />
<h4>
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">ARMONÍA EN LA ARQUITECTURA Y EN TODA CREACIÓN HUMANA</span></h4>
</blockquote>
</blockquote>
<div style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><img align="left" height="269" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/05DORATASPIS.jpg" width="236" /><span style="font-size: x-small;">Entre renombrados arquitectos con el mismo pensamiento es ejemplar la figura de Antoni Gaudí, cuya obra tuvo como constante su inspiración en el "gran libro de la Naturaleza". Al establecer él que "la calidad esencial de la obra de arte es la armonía" explica que "la arquitectura crea el organismo y por eso éste debe tener una ley en consonancia con las de la Naturaleza", porque éstas no son otras que las de la armonía que el hombre reconoce y asume, para repetirlas en lo más excelso de su creación.</span></span></div>
<div style="color: #663300;">
<br /></div>
<div style="color: #663300;">
<br /></div>
<h3 style="color: #663300;">
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<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><br />
<img align="left" height="425" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/06GAUDI.jpg" width="236" /><span style="font-size: x-small;">En general, como producto de acciones determinadas por la intuición o por la reflexión, el factor de coherencia para valorizar una obra arquitectónica por la armonía entre sus partes es el Número de Oro, que añade a su rol estético otro que condiciona medidas y proporciones por ser connatural al hombre. Por eso mismo, éste también utiliza patrones de composición y proporción, con los mismos principios físicos y geométricos de la armonía preestablecida, para valorizar su obra artística e utilitaria en diferentes campos.</span></span></div>
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<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">EXAPENTAS EN LA NATURALEZA</span></h4>
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<div style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><img align="left" height="250" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/07CARBONO60.jpg" width="236" /><span style="font-size: x-small;">Aunque es propio de la química inorgánica, el carbono, a través de sus compuestos, genera toda la química orgánica. Además de esa excepcional peculiaridad, por la cristalización de sus moléculas tiene otras formas alotrópicas aparte de las del grafito (sistema cúbico) y del diamante (sistema exagonal). En ellas se destaca la molécula gigante, hueca y esférica del carbono 60, que en un icosaedro truncado reúne con máxima economía pentágonos y exágonos regulares.</span></span></div>
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<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><img align="left" height="236" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/08CARBONO240.jpg" width="236" /><span style="font-size: x-small;">La molécula del C60, abundante en el universo pero descubierta recién en 1985, tiene propiedades únicas (que no se acaba de descubrir) en la química y en la física, destacándose en su forma y estructura la simetría más alta existente entre todas las moléculas conocidas y la belleza de lo perfecto. Junto con su descubrimiento se hizo el de otras moléculas similares: C240 y C540. Éstas no por ser cada vez más grandes son progresivamente más esféricas ni tampoco aumentan su simetría; sino que conservan la del C60.</span></span></div>
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<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><img align="left" height="269" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/09AUSLASTRUM.jpg" width="236" /><span style="font-size: x-small;">Entre lo mineral y lo que tiene vida, como en un juego de espejos, a los carbonos recién encontrados se les contraponen los radiolarios (protozoarios que hacen una de las más simples áreas de lo orgánico). Son minúsculos animales marinos unicelulares, con esqueleto de sílice, en su mayoría de forma esférica; de excepcional belleza por las combinaciones de pentágonos y exágonos en la gran variedad de las formas de sus perforaciones, complementadas con los seudópodos radiales que determinan su nombre.</span></span></div>
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<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><img align="left" height="260" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/10GLOBIGERINA.jpg" width="236" /><span style="font-size: x-small;">También entre los protozoarios están los foraminíferos, de los cuales los más difundidos y abundantes se encuentran en el género de las globigerinas, que reciben este nombre por presentar su concha formada por varias cámaras globulosas constituidas por carbonato de calcio, las cuales permiten que el animal flote. Entre los varios cientos de especies de lobigerinas que se conoce actualmente, existen unas que tienen el conjunto de sus cámaras con la armoniosa configuración de un exapenta regular.</span></span></div>
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<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><img align="left" height="209" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/11ESPUMA.jpg" width="236" /><span style="font-size: x-small;">En los procesos físico-químicos de partición del espacio con el resultado conocido como espuma, el conjunto de las paredes de los compartimientos busca la mínima extensión posible de superficie, en una diversidad de soluciones en las que se debe cumplir condiciones de forma y relación. Con ese condicionamiento y la tendencia adicional de que el conjunto de burbujas busca la esfericidad, hay espuma formada por poliedros irregulares que tienen entre sus lados: cuadrados, pentágonos y exágonos.</span></span></div>
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<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">GEOMETRÍA DEL ICOSAEDRO TRUNCADO</span></h4>
</blockquote>
<div style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">El icosaedro truncado deriva del icosaedro, uno de los cinco sólidos fundamentales y conocidos como platónicos, el cual está formado por 20 caras que tienen forma de triángulos equiláteros. Cortando con un plano perpendicular a su eje por el tercio superior de su altura cada una de las pirámides que componen el icosaedro, se forman las 12 caras pentagonales y las 20 exagonales del icosaedro truncado, cuya simetría es totalmente equivalente a la del icosaedro original.</span></div>
<blockquote style="color: #663300;">
<h4>
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><img height="161" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/12TRUNCAMIENTO.jpg" width="331" /></span><span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">ARMONÍA DE LA RELACIÓN ENTRE PENTÁGONOS Y EXÁGONOS</span></h4>
</blockquote>
<div style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Como demostración de la armonía de su configuración, en el icosaedro truncado y en los exapenta en general, la consonancia entre sus pentágonos y exágonos componentes (considerando que ambas figuras en cada caso tienen la misma longitud de sus lados o aristas del poliedro), está dada en la relación de sus apotemas mediante el Número de Oro. Con esa base, al igualar el lado con la unidad, para el caso del icosaedro truncado se calculó la longitud de su circulo máximo:</span></div>
<h3 style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><img height="221" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/13FIENEXAPENTA.jpg" width="238" /><img height="222" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/14DESARROLLO.jpg" width="438" /></span></h3>
<blockquote style="color: #663300;">
<h4>
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">EXAPENTAS EN LA OBRA HUMANA</span></h4>
</blockquote>
<div style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><img align="left" height="269" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/15FRANCESCA.jpg" width="236" /><span style="font-size: x-small;">Luca Pacioli (1445-1517), para su libro De Divina Proportione (1498) se inspiró en las obras de Arquímedes y de su maestro Piero della Francesca (1420-1492), pintor y matemático, e hizo de diversos poliedros modelos huecos de madera, que Leonardo da Vinci (1452-1519) utilizó para hacer las ilustraciones de ese libro. Al haberse encontrado en el siglo XX manuscritos de la obra de della Francesca, se comprobó la existencia del dibujo más antiguo conocido del icosaedro truncado.</span></span></div>
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<div style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><img align="left" height="257" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/16DAVINCI.jpg" width="236" /><span style="font-size: x-small;">Pacioli, importante exponente de la relación entre arte y matemáticas en el Renacimiento, aparte de contribuir al mejor conocimiento de los poliedros, se refirió a la amplia presencia del Número de Oro en la Naturaleza y, por esa razón, le adjudicó el nombre de Divina Proporción, como patrón de la armonía en todo lo creado. Aunque él no lo señaló, como demostración de esa armonía y confirmación de la designación que propuso, está también el icosaedro truncado que figura en su libro.</span></span></div>
<div style="color: #663300;">
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<div style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><img align="left" height="236" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/17DOMO.jpg" width="236" /><span style="font-size: x-small;">Buckminster Fuller, quien relacionó la Naturaleza con su obra, pudo haber conocido el estudio de Ernst Haeckel (Die Radiolarien, 1862) y el de D'Arcy Thompson (On Growth and Form, 1917), donde se muestra y analiza la configuración de los radiolarios, para fundamentar en la década de 1940 su exitoso impulso a la utilización de lo que él llamó el 'domo geodésico', originalmente creado por el ingeniero alemán Walter Bauersfeld en 1922 para instalar un planetario de la Zeiss en Jena.</span></span></div>
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<div style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><img align="left" height="236" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/18PELOTA.jpg" width="236" /><span style="font-size: x-small;">En la historia del fútbol ha sido importante la preocupación por contar con una pelota que combine la mayor y constante esfericidad con la regularidad de la distribución de las costuras que son necesarias por las características del juego. Esa doble condición tuvo la respuesta perfecta en la simetría de la Telstar de 1970. Aunque se ha producido una gran evolución en el uso de materiales, no ha variado esa forma geométrica, ni su peso y tamaño, hasta llegar a la Fevernova del 2002.</span></span></div>
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<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;"><br />
<span style="font-size: x-small;">GEOMETRÍA DE LOS DOMOS EXAPENTA</span></span></h4>
</blockquote>
<div style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">En los domos exapenta, el número de 6 pentágonos es constante cualquiera sea el de los exágonos. En una proyección horizontal, un pentágono está en la clave del domo y los otros separados de él por uno o más anillos formados por triángulos equiláteros. Si es un anillo, tiene 75 de éstos; si dos, 120; si tres, 175; si cuatro, 240..........; en un ritmo constante según el número de anillos intermedios sea impar o par. En el caso de ser impar, el de los triángulos aumenta en 100 a partir de los 75 del primero; si es par, en 120 a partir de los 120 del segundo.</span></div>
<blockquote style="color: #663300;">
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<img align="left" height="90" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/19PLANTADOMO.jpg" width="90" /><img align="left" height="120" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/20PLANTADOMO.jpg" width="120" /><img align="left" height="130" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/21PLANTADOMO.jpg" width="130" /><img align="left" height="170" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/22PLANTADOMO.jpg" width="170" /></h3>
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<div style="color: #663300;">
<br /></div>
<div style="color: #663300;">
<span style="color: #663300; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">En la misma proyección horizontal, además de la regularidad en la presencia de los pentágonos dentro de conjuntos de exágonos, se forman otras figuras semejantes que son concéntricas al pentágono que se encuentra en la clave del domo.</span></div>
<blockquote style="color: #663300;">
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<img height="200" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/23EXAPENTAPLANA.jpg" width="200" /><img height="200" src="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/24EXAPENTAPLANA.jpg" width="200" /></h3>
</blockquote>
</blockquote>
<br />
Fuente: <a href="http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/exapentas.htm">http://webs.adam.es/rllorens/picuad/exapenta/exapentas.htm</a>ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-61363603496090647342011-09-09T10:16:00.000-07:002011-09-09T10:16:36.728-07:00Apostilas de matemática do ensino médio para downloads (BRASIL)<span class="Apple-style-span" style="color: #333333; font-family: arial, sans-serif;">En estas notas, están muchos temas que trabajamos en UTU, me pareció muy útil compartirlo con ustedes.</span><br />
<span class="Apple-style-span" style="background-color: whitesmoke; color: #333333; font-family: arial, sans-serif; font-size: 16px;"><span class="hps">Algunos enlaces</span> <span class="hps">pueden romperse</span><span class="">, como ocurrió en</span> <span class="hps">los folletos</span> <span class="hps">de la educación básica</span><span class="">.</span> <span class="hps">Esto puede ocurrir por</span> <span class="hps">diversos problemas</span><span class="">, entonces</span> <span class="hps">si le ocurre algo</span> <span class="hps">que impide</span> <span class="hps">la descarga</span> <span class="hps">del archivo</span><span class="">, por favor envíame</span> <span class="hps">un e-mail</span> <span class="hps">y</span> <span class="hps">describir lo que pasó</span> <span class="hps">para que yo pueda</span> <span class="hps">arreglar.</span><br /><span class="hps">O más bien</span><span class="">, puede</span> <span class="hps">dejar un comentario</span> <span class="hps">aquí en el blog</span><span class="">.</span> <span class="hps">Agradecer</span> <span class="hps">es bueno y</span> <span class="hps">no hace daño</span><span class="">,</span> <span class="hps">y me gusta</span><span class="">.</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="background-color: white; font-family: Georgia, serif; font-size: 16px; line-height: 25px;"></span><br />
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-collapse: collapse;"><tbody>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Descrição</span></b><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Tipo e nº de Pg.</span></b><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<b><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Downloads</span></b><span style="color: blue; font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Recordando operações</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf, 8 Pg.</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/cd6aa494f0d9a86b189c26ec6c5f03d4" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Frações e nº decimal</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf, 7 Pg.</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/c4538a21491a8b30ca4f7ebc0a147878" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Introdução á álgebra</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf, 5 Pg.</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/73b3ca1b93b10a9904b0726f2d9dfb1d" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">O método aritmético e o algébrico</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf, 6 Pg.</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/8be0f4b24cf47a921d6bba6e537ae5c2" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Equacionando os problemas</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf, 8 Pg.</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/ed72eac81abf26d70bf76c25086b00bd" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Resolvendo as equações</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf, 7 Pg.</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/b18af04380bc9ec1cfecc40d6176ef98" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Coordenadas</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf, 7 Pg.</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/0a6f9a53403358675831747141e472af" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">O gráfico que é uma reta</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf, 9 Pg.</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/a8350a08f1c627ce6da79a8f4978a4d2" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Resolvendo sistemas</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf, 6 Pg.</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/50b28d65a0e4ffd44f789def341953fe" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Sistemas que envolvem problemas</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf, 6 Pg.</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/5ff889c42f748685bd13f6bf9f781e1b" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Gabarito das aulas 1 a 20</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf, 20 Pg.</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/ae4ed4f6a66a0584aa2b6ebe41571ca4" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">A álgebra das profissões</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 7 Pg.</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/762e9fc38573260ef6d1eacac1fd83cc" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Gabarito das aulas 41 a 67</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 16 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/53ef788827672beb5786d617866d6898" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">A casa</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 9 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/a646a9563cf479c2066deadbcdda4888" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">A equação da reta</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 7 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/4806c012cd82f069e9b2739ef7456bd2" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">A equação da circunferência</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 8 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/0f34e27c90d8034459ac203bb58d60a2" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">A equação do 2º grau</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 6 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/b84fb785ff8f6a104ce32f49b885577b" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">A fórmula da equação do 2º grau</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 7 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/70c814fb73b43f841c25e7bd8d19f22b" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">A função do 2º grau</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 10 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/ad30afd9dc44ada930e016d0c9477266" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">A função y=ax+b</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 6 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/c2d413d90073601692363b54ea8f8708" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">A intersecção de retas</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 7 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/c3bae0da7acd8bb1326e9a1f58b38537" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">A lei dos co-senos</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 10 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/d10f4dab997f57c2e9d784e65c171fab" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">A lei dos senos</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 8 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/5c3f2922bf9668ee15544f167393eadd" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">A matemática e o dinheiro</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 5 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/56ff12f822fde28031cd31a10ba26de8" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">A noção de função</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 5 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/1d90c0dafd6161cd7c55ee7bb529d1d7" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">A raiz quadrada</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 7 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/64642cf5bf02c40d7399dbed7d6289c4" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Á vista ou a prazo</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 7 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/7cb5a94779f0ec43787200ec5f0a0b71" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Áreas de polígonos - Introdução</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 11 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/47d66535407136e31e82456bc1a3616d" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">As combinações</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 5 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/fba2d4893e1d6465490a7a5546551ffc" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">As médias</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 6 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/58f998158a5bba30a98e3f0a32943dc4" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">As permutações</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 6 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/1ddc7e4ec75f29f53f4abfbbcf4e3d25" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Calculando distâncias sem medir</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 6 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/6a44610bf57e1b3583e6e26d0f69f46e" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Calculando probabilidades</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 8 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/5529d44046b53717c7eb6220b66084d3" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Comprimento e Área do círculo</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 8 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/fd7b47387d7c88c80662c80eb9c2efc4" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Continuando com permutações</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 7 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/87dc6ee37e4bda5ef46628df3fdf902f" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Cubos, prismas, cilindros.</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 8 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/1364a6862dfb8fd9e6cbf627c6be10b2" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Distâncias inacessíveis</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 7 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/45a424ca653308e604062206cab47818" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Equações exponenciais</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 5 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/de2dffbaa3cea51a041e6e21204106fb" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Estimando probabilidades</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 5 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/58728188187786a4a53ae3b61f33652e" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Expoentes fracionários</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 7 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/97588d4fc63d23d888be1d7b84ecf411" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Gabarito 41 a 67</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 15 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/53ef788827672beb5786d617866d6898" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Máximos e mínimos</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 5 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/6a41f319c5d2ec99b8d327ee1cd73e0c" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Medida de ângulos</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 9 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/1c094134b5f20bccf6ac39ef8fe301b3" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">O conceito de probabilidade</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 6 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/18e64e1536f6d382a3962033918f9064" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">O gráfico de uma função</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 8 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/f24fd95fc7f6a63e13212110f71f5c4d" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">O princípio multiplicativo</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 6 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/b806cc502edaae693bb8e3ecc7d72736" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">O teorema de Pitágoras</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 10 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/2ded5b36dee4c13f2e4bd0e45022e1b3" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Observando embalagens</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 5 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/70c28b6790688a7f5413e830979b186c" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Operações com potências</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 6 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/e6b29caae94887dc3291945197b8a47a" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Os gráficos estão na vida</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 11 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/991119262cae1691fc1588f2d24775d4" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Os logaritmos decimais</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 10 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/ffd2cdf5e63481310efb4249a849b776" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pirâmide, cone e esfera.</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 8 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/4fa587c724cbbfd1511dd15e52f88b2b" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Plantas e mapas</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 5 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/6d731dc943e54280f7a05ee0ac5bcd85" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Problemas de volumes</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 7 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/f8bbad4c0b343d7cbed7dd750b61c80d" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Problemas do 2º grau</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 7 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/e0941221ea03d2fb72ea579efc6cdf42" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Progressões aritméticas</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 7 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/e9c9545d5920b4c6fd5e3985399cdac7" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Progressões geométricas</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 7 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/b4896e6fd792d4c62c9dd32952f59c43" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Recordando produtos notáveis</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 6 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/ea663da8be0bb211936c669f695de415" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Resolvendo problemas com logarit.</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 6 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/568ef72ebb7acf6d7d1142ff9f7b4f5c" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Revisão</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 7 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/d451e7b29984b7664b3fcf984fa97ee4" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Revisão de combinatória</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 6 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/e90fd2cf98b9af18b061a8edb339b09e" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Revisão II</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 5 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/013c01bcc7eb66692119826c18a57c4c" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Revisão III</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 5 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/7e817ed0d021940c061ec36c4290c620" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Semelhança e áreas</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 8 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/94f2c5e03c14cbbd7c74dc1b81f1a86c" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Sólidos semelhantes</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 7 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/781ddcafed45ed3eb8bc1128b64c27a9" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Somando os termos de uma PA</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 6 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/2648c6e88d252ecf6519dd8d8f7eb5e3" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Somando os termos de uma PG</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 6 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/378393fb6a6eef4b4dc4bf39f276323c" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Teorema de Tales</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 12 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/b4313380ace75bd19b8bec85907628d0" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Triângulos especiais</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 10 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/b273d491661164007bd0a0563094aae3" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Trigonometria do triângulo retângulo</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 16 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/065c80376cf0f87887e9eb8bfa33fe52" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Unidades de volumes</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 5 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/251dd99dad0c291293f4c86c2827612c" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
</td></tr>
<tr><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: windowtext; border-left-style: solid; border-left-width: 1pt; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: windowtext; border-top-style: solid; border-top-width: 1pt; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 7cm;" valign="top" width="265"><div style="line-height: 24px;">
<b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Usando potências de 10</span></b><span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"></span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 4cm;" valign="top" width="151"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;">Pdf 5 Pg</span></div>
</td><td style="border-bottom-color: windowtext; border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1pt; border-left-color: initial; border-left-style: none; border-left-width: initial; border-right-color: windowtext; border-right-style: solid; border-right-width: 1pt; border-top-color: initial; border-top-style: none; border-top-width: initial; padding-bottom: 0cm; padding-left: 5.4pt; padding-right: 5.4pt; padding-top: 0cm; width: 3cm;" valign="top" width="113"><div style="line-height: 24px; text-align: justify; text-indent: 35.45pt;">
<span style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 22px;"><a href="http://filebeam.com/8efd3bb35eac5bb4680fda88e58ebc20" style="color: #5588aa; text-decoration: none;">Download</a></span></div>
<div>
<br /></div>
</td></tr>
</tbody></table>
ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-33950885504321137142011-09-09T10:05:00.000-07:002011-09-09T10:05:49.746-07:00Para pensar<span class="Apple-style-span" style="background-color: whitesmoke; font-family: arial, sans-serif; font-size: 16px;">LOS CINCO MONOS</span><span class="Apple-style-span" style="background-color: whitesmoke; color: #333333; font-family: arial, sans-serif; font-size: 16px;"><span style="color: black;" title=""><br /><br /> </span><span title="">Un grupo de científicos colocó cinco monos en una jaula. </span><span title="">En el centro, una escalera y sobre ella, un racimo de plátanos.<br /> </span><span title="">Cuando un mono subía la escalera para conseguir los plátanos, los científicos jugaron un chorro de agua fría sobre la base de que eran. </span><span title="">Después de algún tiempo, cuando un mono subía la escalera, cogió la otra y llena de ponche.</span><span title="">Con más tiempo, ningún mono subía la escalera más, a pesar de la tentación de las bananas.<br /><br /><br /><br /> </span><span title="">Entonces, los científicos sustituyeron a uno de los monos por otro nuevo. </span><span title="">Lo primero que hizo fue subir la escalera, siendo tomada por otros, quienes lo golpearon. </span><span title="">Después de una cuantas palizas, el nuevo miembro del grupo ya no subió la escalera. </span><span title="">Un segundo fue reemplazado y lo mismo ocurrió con el primer reemplazo participaron con entusiasmo en vencer a los principiantes. </span><span title="">Un tercero fue cambiado, y ocurrió lo mismo. </span><span title="">Un cuarto y, finalmente, el último de los veteranos fue sustituido.<br /> <br /> </span><span title="">Entonces, los científicos se quedaron con un grupo de cinco monos, que nunca ha tomado una ducha fría, continuaron golpeándolo, que trató de conseguir los plátanos.<br /> </span><span title="">Si pudieras preguntar a cualquiera de ellos, ya que una paliza a cualquiera que intentara subir la escalera, seguramente la respuesta sería:<br /> </span><span title="">- "No sé, pero las cosas siempre han sido aquí."<br /> </span><span title="">La moraleja de la historia:</span><span title="">Sabemos que todo lo que tiene que ver con las matemáticas sigue ciertos patrones, es decir, las matemáticas se ha basado en normas y reglas. </span><span title="">El texto de "Los Cinco Monkeys" se refiere a la facilidad con la que nos relacionamos con los patrones creados por la sociedad, aunque sea totalmente inconsciente [como en el caso de los monos del viejo]. </span><span title="">El peligro de que esto ocurra es que perdemos la capacidad de reflexión, investigación, cuestionando, actuando de acuerdo a las reglas impuestas por nuestra historia. </span><span title="">En matemáticas también es así porque muchos de los grandes matemáticos - que estaban en lo cierto - tuvo que romper las "normas" impuestas por la élite, por lo que sus conclusiones fueron aceptadas.<br /><br /><br /> </span><span title="">"Triste estos tiempos:. Es más fácil romper un átomo que un prejuicio"</span><span title="">Albert Einstein</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="background-color: whitesmoke; color: #333333; font-family: arial, sans-serif; font-size: 16px;"><span title=""><br /></span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="background-color: whitesmoke; color: #333333; font-family: arial, sans-serif;"><span title=""></span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="background-color: whitesmoke; color: #333333; font-family: arial, sans-serif;"><span title="">Adaptado de:</span></span><br />
<span class="Apple-style-span" style="background-color: whitesmoke; color: #333333; font-family: arial, sans-serif;"><span title="">http://www.sebraemg.com.br/culturadacooperacao/cultura_cooperacao/05_2.htm</span></span><br />
ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-47985433993312770602011-09-08T20:31:00.000-07:002011-09-08T20:31:22.903-07:00Cónicas doblando papel<span style="background: #DDDDDD; color: black; font-size: 13.5pt;">Se llama<span class="apple-converted-space"> </span><b>envolvente</b><span class="apple-converted-space"> </span>de una familia de curvas a una curva que es tangente a cada una de ellas. Esta práctica consiste en obtener<span class="apple-converted-space"> </span><a href="http://www.epsilones.com/paginas/a-bestiario.html#bestiario-conicas"><b><span style="color: #1000e7; text-decoration: none; text-underline: none;">elipses</span></b><span style="color: #1000e7; text-decoration: none; text-underline: none;">,</span><b><span style="color: #1000e7; text-decoration: none; text-underline: none;">hipérbolas</span></b><span class="apple-converted-space"><span style="color: #1000e7; text-decoration: none; text-underline: none;"> </span></span><span style="color: #1000e7; text-decoration: none; text-underline: none;">y</span><span class="apple-converted-space"><span style="color: #1000e7; text-decoration: none; text-underline: none;"> </span></span><b><span style="color: #1000e7; text-decoration: none; text-underline: none;">parábolas</span></b></a><span class="apple-converted-space"> </span>a partir de sus tangentes. Doblando papel trazaremos toda una familia de tangentes cuya envolvente será la cónica buscada.<o:p></o:p></span><br />
<span style="background: #DDDDDD; color: black; font-size: 13.5pt;">Solo se necesitan unas hojas de papel vegetal, una regla y un compás.<o:p></o:p></span><br />
<span style="background: #DDDDDD; color: black; font-size: 13.5pt;"><br />
</span><br />
<span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #dddddd; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: black;"></span><br />
<div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;"><b><span style="color: blue;">Elipse:<o:p></o:p></span></b></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">1- Dibujamos una circunferencia bastante grande.<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">2- Dibujamos en su interior un punto cualquiera (que al menos la primera vez procuraremos que no sea el centro).<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">3- Unimos el punto anterior (F en la figura) con un punto de la circunferencia y marcamos bien el doblez (que resulta ser la mediatriz del segmento XF).<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">4- Repetimos el paso anterior tantas veces como sea posible de modo que unamos el punto F con puntos de todas las zonas de la circunferencia.<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">5- Lo que se obtiene es una elipse cuyos focos son el punto F y el centro de la circunferencia.<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;"> <img src="http://www.epsilones.com/imagenes/laboratorio/conicaspapel1.gif" /></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;"><span> </span><o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;"><b><span style="color: blue;">Hipérbola:<o:p></o:p></span></b></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">1- Dibujamos una circunferencia bastante grande.<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">2- Dibujamos en su exterior un punto cualquiera.<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">3- Unimos el punto anterior (F en la figura) con un punto de la circunferencia y marcamos bien el doblez (que resulta ser la mediatriz del segmento XF).<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">4- Repetimos el paso anterior tantas veces como sea posible de modo que unamos el punto F con puntos de todas las zonas de la circunferencia.<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">5- Lo que se obtiene es una hipérbola cuyos focos son el punto F y el centro de la circunferencia.<o:p></o:p></div><span class="Apple-style-span" style="background-color: #dddddd; font-size: 18px;"><b><span style="color: blue;"> <img src="http://www.epsilones.com/imagenes/laboratorio/conicaspapel2.gif" /></span></b></span><span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #dddddd; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: black;"><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;"><span> </span><o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;"><b><span style="color: blue;">Parábola:<o:p></o:p></span></b></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">1- Dibujamos un segmento horizontal en la parte inferior de la hoja.<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">2- Dibujamos por encima del segmento un punto F centrado horizontalmente en la hoja.<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">3- Unimos el punto anterior (F en la figura) con un punto del segmento y marcamos bien el doblez (que resulta ser la mediatriz del segmento XF).<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">4- Repetimos el paso anterior tantas veces como sea posible de modo que unamos el punto F con puntos de todas las zonas del segmento.<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">5- Lo que se obtiene es una parábola cuyo foco es el punto F y su directriz la recta que contiene al segmento dibujado.<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;"><br />
</div></span><span class="Apple-style-span" style="background-color: #dddddd; font-size: 18px;"><b><span style="font-size: 14.0pt;"> <img src="http://www.epsilones.com/imagenes/laboratorio/conicaspapel3.gif" /></span></b></span><span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: #dddddd; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: black;"><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;"><span> </span><o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;"><b><span style="font-size: 14.0pt;">Una vez conseguido al menos un ejemplo de cada curva, nos podemos hacer algunas preguntas:<o:p></o:p></span></b></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">¿Qué pasa cuando situamos el punto F en la misma circunferencia?<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">¿Qué pasa cuando situamos el punto F en el centro de la circunferencia?<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">¿Qué les pasa a las elipses y a las hiperbolas cuando alejamos o acercamos F a la circunferencia?<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;">¿Qué le pasa a la parábola cuando alejamos o acercamos F a la directriz?<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal" style="font-size: 13.5pt;"><br />
</div><a href="http://www.epsilones.com/paginas/p-laboratorio1.html#apendice-3d">http://www.epsilones.com/paginas/p-laboratorio1.html#apendice-3d</a></span>ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1526425978181397829.post-79487266247880258012011-09-08T20:17:00.000-07:002011-09-08T20:23:00.258-07:00La aguja de Buffon En la galería de fórmulas se pueden encontrar muchas formas de calcular π mediante series, productos infinitos y otros procesos aritméticos. En esta ocasión sin embargo vamos a ver un método para obtener π de modo estadístico mediante un experimento desarrollado en 1777 por el naturalista francés Buffon en lo que es el primer ejemplo de probabilidad geométrica.<br />
<div class="MsoNormal"><o:p></o:p></div><div class="MsoNormal"><br />
</div><div class="MsoNormal">Supongamos que disponemos de una superficie rayada con líneas paralelas y una aguja de tal modo que si la aguja tiene una longitud l, la distancia d que separa a todas las paralelas es mayor que l. Si se tira la aguja sobre la superficie puede que esta corte o no a alguna de las líneas. Consideramos como favorable aquel lanzamiento en el que la aguja efectivamente cae sobre alguna de ellas. Pues bien: lo que demostró matemáticamente Buffon es que la probabilidad de que un lanzamiento sea favorable en este sentido es igual a 2l/dπ . Es evidente entonces que si hacemos l y d iguales la probabilidad será 2/π.<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal"><br />
</div><div class="MsoNormal">Por otra parte, si llamamos N al número de lanzamientos y N' al número de casos favorables, el cociente N'/N se aproximará a dicha probabilidad a medida que N aumente. Por lo tanto, si tiramos la aguja un número grande de veces podremos escribir:<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal"> <img src="http://www.epsilones.com/imagenes/laboratorio/practica-buffon1.jpg" /></div><div class="MsoNormal"><span style="font-family: "Times New Roman"; font-size: 12.0pt; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">De donde, despejando, se tiene: </span><img src="http://www.epsilones.com/imagenes/laboratorio/practica-buffon2.jpg" /></div><div class="MsoNormal"></div><div class="MsoNormal">Pues esta es la idea: buscamos una aguja, rayamos una hoja de papel de modo que las líneas estén separadas entre sí una distancia igual a la longitud de la aguja y la tiramos una y otra vez sobre el papel, contando el número de lanzamientos y el número de veces que la aguja corta a alguna de las líneas. Después, un buen montón de lanzamientos después, aplicamos la última de las fórmulas y, voilà, tenemos un valor aproximado de π.<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal">Una advertencia: esto funciona siempre y cuando lancemos la aguja de modo realmente aleatorio. Podría sorprendernos la tendencia que tenemos a repetir, si nada nos lo impie, los mismos gestos.<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal"><br />
</div><div class="MsoNormal">***<o:p></o:p></div><div class="MsoNormal"><br />
</div><div class="MsoNormal">Pero, aquí debe haber un error, ¿no? Si π es el cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, ¿que tiene que ver con agujas y probabilidades? Pues todo y nada: hay que pensar en π como una constante universal, como un reflejo de las profundas conexiones que existen entre unos objetos maemáticos y otros, como una de las caracterísicas básicas del universo que habitamos. El hecho de que el primer sitio donde encontramos a π fuese en el círculo fue una mera casualidad. O quizá, se me ocurre, es que era el más sencillo de los lugares.</div><div class="MsoNormal"><br />
</div><div class="MsoNormal"><a href="http://www.epsilones.com/paginas/p-laboratorio1.html#apendice-3d">http://www.epsilones.com/paginas/p-laboratorio1.html#apendice-3d</a></div>ETSR 2011http://www.blogger.com/profile/01912717396217227196noreply@blogger.com0